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Lycée militaire de Saint-Cyr DS n°9 1
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NOM : Prénom :
Il sera tenu compte de la présentation et de la rédaction dans l’appréciation des copies. Tous les résultats devront être soulignés.
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3 QCM
Dans cet exercice, il est demandé de remplir le tableau ci-dessous en indiquant, pour chaque question, la lettre correspondant à l’unique bonne réponse parmi les quatre proposées.
Aucune justification n’est demandée. Chaque bonne réponse rapporte 0,5 points, chaque réponse fausse en enlève 0,25 et l’absence de réponse n’apporte, ni ne retire de points
1. Soit ABC un triangle tel que :
𝐴𝐵 = 4, 𝐵𝐶 = 6 et 𝐴𝐵𝐶̂ = 40° La longueur AC arrondie au centième est égale à :
A. 3,9 B. 3,91 C. 4 D. 3,902
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2. ABC est le triangle de la question 1. Une valeur approchée au dixième de son aire est égale à :
A. 8,9 B. 7,7 C. 15,4 D. 7,72
3. Soit EFG un triangle tel que :
𝐹𝐺 = 6, 𝐸𝐹𝐺̂ = 50° et 𝐹𝐺𝐸̂ = 30° La longueur AB arrondie au centième est égale à :
A. 3 B. 3,04 C. 3,05 D. 3,046
4. Le plan est muni d’un repère orthonormé. On donne les points 𝐴(−5 ; 6) et 𝐵(−1 ; −2).
Une équation cartésienne de la médiatrice du segment [AB] est : A. 𝑦 =1
2𝑥 + 7 B. −2𝑥 + 4𝑦 − 14 = 0 C. −𝑦 + 2𝑥 − 7 = 0 D. 4𝑥 − 8𝑦 + 11 = 0
5. On sait que cos(𝜋
5) =√5+1
4 . Alors, cos(3𝜋
5) = ⋯ A. 3−√54 B. 3(√5+1)4 C. 1−√54 D. √5−14 6. Pour tout réel 𝑎 et 𝑏, on a : sin(𝑎 + 𝑏) sin(𝑎 − 𝑏) = ⋯
A. (sin 𝑎 cos 𝑏)2+ (sin 𝑏 cos 𝑎)2 B sin2𝑏 − sin2𝑎 C. sin2𝑎 − sin2𝑏 C. 2 cos 𝑎 sin 𝑏
7. On sait que cos 𝑎 =√6+√2
4 et 𝑎 ∈ [0 ; 𝜋]. Alors, sin(2𝑎) = ⋯
A. √32 B. 12 C. −1
2 D. −√3
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Exercice 4
Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par :
𝑓(𝑥) =5𝑥 − 𝑥3 𝑥2+ 3
On note 𝐶𝑓 sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé (O ;I,J).
1. Déterminer les réels 𝑎 et 𝑏 tels que : pour tout 𝑥 ∈ ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥
𝑥2+3.
2. Calculer la dérivée de 𝑓 et montrer que 𝑓′(𝑥) =−𝑥4(𝑥−14𝑥2 2+15
+3)2 .
3. Etudier le signe de 𝑓′(𝑥). Indication : Montrer dans un premier temps que 𝑓′(𝑥) =
−(𝑥2−1)(𝑥2+15) (𝑥2+3)2 .
4. Donner le tableau de variation complet de 𝑓.
5. Déterminer l’équation de la tangente T au point d’abscisse 0.
6. Etudier la position relative de 𝐶𝑓 et de la droite 𝐷 d’équation 𝑦 = −𝑥.
7. Sur l’annexe (page 3), tracer 𝐶𝑓, 𝑇 et 𝐷.
Barème probable /26 : Ex 1 : 3.5 ; Ex 2 : 9 ; Ex 3 : 7 ; Ex 4 : 6.5 BONUS !
𝑎 désignant un réel n’appartenant pas à {(2𝑘 + 1)𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}, on pose 𝑡 = tan (𝑎
2).
Etablir que sin(𝑎) = 2𝑡
1+𝑡2 et cos(𝑎) =1−𝑡2
1+𝑡2.
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