TS Exercices avec prise d’initiative sur les nombres complexes

(1)

TS Exercices avec prise d’initiative sur les nombres complexes

1 Résoudre dans C l’équation z² z²

 

^E ^.

On notera que la notation z² désigne le conjugué de z au carré.

Écrire l’ensemble S des solutions de l’équation

 

^E ^.

2 On se place dans le plan complexe P muni d’un repère orthonormé direct



^{O, ,}^{u v}



^.

Déterminer l’ensemble E des points M de P d’affixe z tels que z²». Déterminer l’ensemble F des points M de P d’affixe z tels que z²i». 3 Résoudre dans C l’équation ziz

 

^E ^.

Écrire l’ensemble S des solutions de

 

^E ^.

4 Résoudre dans C l’équation z²     2 z 2 ² 1 0

 

^E ^où^ est un réel.

Discuter suivant les valeurs de .

Même question avec les équations z²     2 z ² 1 0

 

^F ^et^z²     ² ^z ² ² ^{1 0}

 

^G ^.

5 On considère la fonction f définie sur C^* à valeurs dans C par ^{f z}

 

^ ^z_z ^.

Déterminer les antécédents de 1 et de – 1 par f.

On répond sans aucun calcul.

6 On pose 1 i 3 j 2 . Calculer j²⁰¹⁹.

7 Résoudre dans C l’équation z² i.

(2)

Solutions

1 Résoudre dans C l’équation z² z²

 

^E ^.

Écrire l’ensemble S des solutions de l’équation

 

^E ^.

1^ère méthode :

On pose z x iy où x et y sont deux réels.

On a alors z x iy.

 

^E ^⇔



^x^ⁱ^y

 

² ^{ }^x ⁱ^y



²

 

^E ^⇔ ^x²^²ⁱ^xy^^y² ^^x²^²ⁱ^xy^^y²

 

^E ^⇔⁴ⁱ^xy^⁰

 

^E ^⇔ ^xy^⁰

 

^E ^⇔ ^x^⁰^ou^y^⁰

 

^E ^⇔ z est réel ou z est imaginaire pur

On peut donc écrire S  ∪ i . Il s’agit d’une égalité d’ensembles.

2^e méthode (meilleure) :

 

^E ^⇔^z^^z^{ou z}^{ }^z

 

^E ^⇔ z est réel ou z est imaginaire pur On peut donc écrire S  ∪ i .

Les élèves ont bien fait la résolution par deux méthodes : en posant z x iy ou sans poser.

En revanche, ils n’ont pas réussi à écrire S correctement.

Il y a eu des difficultés pour comprendre pourquoi ce n’est pas le couple

 

^{0 ; 0} ^.

J’ai trouvé par exemple ^S ^

 

^{0 ; 0} ^ou^S ^

  

^{0 ; 0}



^.

(3)

2 On se place dans le plan complexe P muni d’un repère orthonormé direct



^{O, ,}^{u v}



^.

Déterminer l’ensemble E des points M de P d’affixe z tels que z²». Déterminer l’ensemble F des points M de P d’affixe z tels que z²i».

 

²

2 i

z  x y

2 2 2

2i z x  xyy

 

² ² ²

Re z x y et ^Im

 

^z² ^²^xy

_______________________

Soit M un point quelconque de Pd’affixe z x iy où x et y sont deux réels.

ME ⇔ z²» ME ⇔ ^Im

 

^z² ^⁰

ME ⇔ xy0

ME ⇔ x0 ou y0

E est donc la réunion de l’axe des réels et de l’axe des imaginaires purs.

_______________________

MF ⇔ z²i» MF ⇔ ^Re

 

^z² ^⁰

MF ⇔ x²y² 0 MF ⇔



^x^^y



^x^{ }^y



⁰

MF ⇔ x y 0 ou x y 0

On sait que les égalités x y 0 ou x y 0 sont des équations de droites.

F est donc la réunion des droites d’équations x y 0 et x y 0.

(4)

Autre méthode pour l’ensemble E :

ME ⇔ z²» ME ⇔ z² z²

ME ⇔

 

^z ² ^^z²

ME ⇔

 

^z ² ^^z²

ME ⇔ zz ou z z

ME ⇔ z est réel ou z est imaginaire pur

E est donc la réunion de l’axe des réels et de l’axe des imaginaires purs.

Cet exercice peut être traité en utilisant la notion d’argument.

3 Résoudre dans C l’équation ziz

 

^E ^.

Écrire l’ensemble S des solutions de

 

^E ^.

 

^E ^⇔ ^x^{ }ⁱ^y ⁱ



^x^ⁱ^y



 

^E ^⇔ ^x^ⁱ^y^ⁱ^x^^y

 

^E ^⇔ ^_{ }_^x^{ }_y ^y_x (identification des parties réelle et imaginaire)

 

^E ^⇔ ^y^{ }^x

Variante :

 

^E ^⇔ ^x^{ }ⁱ^y ⁱ



^x^ⁱ^y



 

^E ^⇔ ^x^ⁱ^y^ⁱ^x^^y

 

^E ^⇔



^x^{ }^y

 

ⁱ ^x^{ }^y



⁰

 

^E ^⇔



^x^^y

 

^{1 i}^{ }⁰

 

^E ^⇔ ^x^{ }^y ⁰

 

^E ^⇔ ^y^{ }^x

Conclusion :

Les solutions de

 

^E sont les nombres complexes de la forme xix, x décrivant R.

L’ensemble des solutions S de

 

^E est l’ensemble des nombres complexes de la forme xix lorsque x décrit R (ensemble infini).

(5)

L’ensemble des solutions S de

 

^E est l’ensemble des nombres complexes de la forme xix lorsque x décrivant R.

On peut écrire ^S ^{ }



^x ^{i ,}^{x x}^^»



^.

Autre façon :

 

^E ^⇔ ^x^{ }ⁱ^y ⁱ



^x^ⁱ^y



 

^E ^⇔ ^x^ⁱ^y^ⁱ^x^^y

 

^E ^⇔



^x^{ }^y

 

ⁱ ^x^{ }^y



⁰

 

^E ^⇔ ^_{  }_^x_x^{ }^y_y ⁰₀

 

^E ^⇔ ^x^{ }^y ⁰

 

^E ^⇔ ^y^{ }^x

4 Résoudre dans C l’équation z²     2 z 2 ² 1 0

 

^E ^où^ est un réel.

Discuter suivant les valeurs de .

Même question avec les équations z²     2 z ² 1 0

 

^F ^et^z²     ² ^z ² ² ^{1 0}

 

^G ^.

 

^E est une équation du second degré à coefficient réel qui dépend du paramètre _. On pose a1, b 2 et '

2

b b, c  2 ² 1.

Calculons le discriminant réduit ' (formule

2

' 2

b ac

      avec les notations classiques).

 

2 2

' 2 1

      ' 2 1

     ' 0

  donc l’équation admet 2 racines complexes conjuguées dans C :

1

2 1

1

2

' i '

i 1

1

i 1

z

a

z

z    b



    



     

2 2

2

' i '

i 1

1

i 1

b a

z z

z

   

    

  

 







(6)

Soit S l’ensemble des solutions de l’équation

 

^E ^.



ⁱ ² ^{1 ;} ⁱ ² ¹



S          

5 On considère la fonction f définie sur C^* à valeurs dans C par ^{f z}

 

^ ^z_z ^.

Déterminer les antécédents de 1 et de – 1 par f.

On répond sans aucun calcul.

Pour déterminer les antécédents de 1 et de – 1 par f, on résout dans C^* les équations ^{f z}

 

^¹

 

¹ ^et

 

¹

f z  

 

² ^.

 

¹ ^⇔ ^z_z ^¹

 

¹ ^⇔ ^z^ ^z

 

¹ ^⇔ ^z^^»^*

 

² ^⇔ ^z_z ^{ }¹

 

¹ ^⇔ ^z^{ }^z

 

¹ ^⇔ ^z^

 

ⁱ^» ^*

L’ensemble des antécédents de 1 par f est »^*. L’ensemble des antécédents de – 1 par f est

 

ⁱ^» ^*^.

6 On vérifie par le calcul que j³ 1. 2019 est un multiple de 3 : 2019 3 673. On en déduit que ^j²⁰¹⁹ ^

 

^j³ ⁶⁷³ ^¹^.

(7)

7 Résoudre dans C l’équation z² i

 

¹ ^.

Il n’est pas possible d’écrire i.

 

¹ ^⇔



^x^ⁱ^y



² ^ⁱ

 

¹ ^⇔ ^x² ^^y²^²ⁱ^xy^ⁱ

 

¹ ^⇔ ^{ }^₂^x²_xy_^y₁² ^⁰

 (par identification des parties réelle et imaginaire)

 

¹ ^⇔ ^{ }^_₂^x²_xy_^y₁²

 

¹ ^⇔ ^^_₂^x_xy^ ^y_^ou₁ ^x^{ } ^y

 

¹ ^⇔ ^^₂^x_x^²^y_₁

 ^ou 2 ² 1 impossible pour

x y

x x

  

  

 »

 

¹ ^⇔ ¹ _ou ¹

2 2

x y

x x

 

   



 

¹ ^⇔ ¹

2

x y ou 1

2 x  y

 

¹ ^⇔ ^{1 i}

2

z  ou 1 i 2 z  

Soit S l’ensemble des solutions de l’équation

 

¹ ^.

1 i 1 i

;

2 2

S    

 

On peut dire que 1 i 2

 et 1 i 2

  sont les racines carrées de i.

(8)

Autre démarche qui ne fonctionne pas : il ne s’agit que d’implications et non d’équivalences.

 

¹ ^⇒ ^z² ^ⁱ

 

¹ ^⇒ ^z⁴ ^ⁱ²

 

¹ ^⇒ ^z⁴ ^{ }¹

 

¹ ^⇒^z² ^ⁱ^ou^z² ^{ }ⁱ