() () NOTION DE NOMBRES COMPLEXES. EXERCICES.

NOTION DE NOMBRES COMPLEXES. EXERCICES.

I. Dans le plan muni d'un repère orthonormal direct, on appelle A le point d'affixe 3i. On appelle f l'application qui, à tout point M d'affixe z distinct de A, associe le point M' d'affixe z' définie par z' = iz  

z  i . 1. Développer (z  7i)(z + i).

2. Montrer que f admet deux points invariants (c'est-à-dire deux points M tels que M M ) dont on précisera les affixes.

II. Vrai ou faux ? Justifier.

Pour tout complexe z, Re( z²) (Re(z )) ² .

III. A tout nombre complexe z x i y, avec x et y réels, on associe le nombre complexe z ( x² y ² 2x 4 y 4) (3 x 2y 4)i .

1. Déterminer l ensemble ( E) des points M d affixe z tels que z soit un nombre réel.

2. Déterminer l ensemble ( F) des points M d affixe z tels que z soit un nombre imaginaire pur.

IV. On donne z =   i

  i et z’ =   i

  i . Donner sans calcul la nature des nombres z + z’ et z  z’.

V. Dans le plan complexe, déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que z² +  z soit réel.

VI. D après Métropole 2014.

On désigne par ( E) l équation z ⁴ 4 z ² 16 0 d inconnue complexe z.

1. Résoudre dans l équation ( ) ^{E 1 Z² 4Z 16 0.}

2. Soit a 1 i 3 . Calculer a² et en déduire les solutions dans de l équation z² 2 2 i 3 . 3. ROC.

On suppose connu le fait que pour tout nombre complexe z x iy, où x ϵ et y ϵ , le conjugué de z est le nombre complexe z défini par z x i y.

Démontrer que :

Pour tous nombres complexes z 1 et z 2 , z 1 z 2 z 1 . z 2 .

Pour tout nombre compl exe z et tout entier naturel non nul n, z ⁿ ( ) ^{z n .}

4. Démontrer que si z est une solution de l équation ( E), alors son conjugué z est également une solution de ( E).

En déduire les solutions dans de l équation (E ). On admettra que (E) admet au plus quatre solutions.

VII. Pondichéry avril 2017.

On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct

1. On considère l’équation (E) : z ² 6z c 0, où c est un réel strictement supérieur à 9.

a. Justifier que (E) admet deux solutions complexes non réelles.

b. Justifier que les solutions de (E) sont z A 3 i c 9 et z b 3 i c 9 .

2. On note A et B les points d’affixes respectives z A et z b . Justifier que le triangle OAB est isocèle en O.

3. Démontrer qu’il existe une valeur du réel c pour laquelle le triangle OAB est rectangle et

déterminer cette valeur.

VIII. Le plan est rapport à un repère orthonormal. On considère le point A du plan d’affixe le nombre complexe

z _A 4 2 i.

On considère les suite ( ) ^u n et ( ) ^z n de nombres complexes définies pour tout entier naturel n par

 

 z ₀ 0 z n 1 1

2 iz n 5. et u n z n z A . Pour tout n de , on note M n le point d affixe z n . 1. Montrer que, pour tout entier naturel n, u n 1

1

2 i u n .

2. Démontrer par récurrence sur que, pour tout entier naturel n : u n  

  1 2 i

n

( 4 2i ).

3. En déduire z n en fonction de n.

4. Exprimer en fonction de n l affixe des vecteurs AM n 4 et AM n . En déduire que A,M n 4 et M n sont

alignés.

NOTION DE NOMBRES COMPLEXES. EXERCICES.

CORRECTION.

I.

1. (z  7i)(z + i) = z ² iz 7iz 7 z² 6iz 7.

2. On cherche à résoudre l équation f (z ) z.

f (z ) z iz  

z  i = z. La valeur interdite est 3i . 3iz 7 z (z 3i ) et z ≠3i.

3iz 7 z² 3iz 0 et z ≠3i.

z ² 6i z 7 0 et z≠3i . z² 6iz 7 0 et z ≠3i.

(z  7i)(z + i) 0 et z≠3 i d après la question 1.

(z  7i) = 0 ou (z + i) 0 et z ≠3i

z 7i ou z i

f admet deux points invariants, qui sont les points d affixes 7 i et i.

II. On a z z donc z z est un réel et z z est un imaginaire pur.

III. Soit M un point d affixe z = x i y.

z² z (x i y)² x i y = x² 2i xy y ² x i y = ( x² x y ²) i(2 xy y )

z² z ϵ 2xy y 0 y(2 x 1) 0 y 0 ou 2x 1 0 y 0 ou x 1 2 .

L’ensemble des points M d’affixe z tels que z² +  z soit réel est formé des deux droites d équation y 0 et x 1

2 .

IV.

1. = 48 donc l équation ( ) ^{E 1} a deux solutions complexes conjuguées : z ₁ 4 i 48

2 2 2i 3 et z ₂ 2 2i 3 . S E

{ ^{2 2 i 3 2 2i 3} }

2. a 1 i 3 .

a² ( 1 i 3 ) ² 1 2i 3 3 2 2 i 3

Les solutions dans de l équation z² 2 2i 3 sont donc a = 1 + i 3 et a = 1 i 3 . 3. ROC.

Soit z 1 = x 1 iy 1 et z 2 x 2 iy 2 deux nombres complexes avec x 1 , x 2 , y 1 et y 2 des réels.

z 1 z 2 = ( ^{x 1 iy 1} ) ( ^{x 2 iy 2} ) ^{= x 1 x 2 ix 1 y 2 iy 1 x 2 y 1 y 2 = x 1 x 2 y 1 y 2 i} ( ^{x 1 y 2 x 2 y 1} )

et z 1 . z 2 = ( ^{x 1 iy 1} ) ( ^{x 2 iy 2} ) ^{= x 1 x 2 y 1 y 2 i} ( ^{x 1 y 2 x 2 y 1} )

Ainsi, pour tous nombres complexes z 1 et z 2 , z 1 z 2 z 1 . z 2 . Soit z un nombre complexe.

Par récurrence sur n :

Initialisation : pour n = 1 : z ¹ z et ( ) ^{z 1 z} donc on a bien z ¹ ( ) ^{z 1} : la propriété est vraie pour n = 1.

Hérédité : Soit n un entier naturel non nul tel que z ⁿ ( ) ^{z n} . Montrons que z ^{n 1} ( ) ^{z n 1 .}

z ^{n 1} z ⁿ z = z ⁿ z d après la démonstration précédente avec z 1 z ⁿ et z 2 z.

( ) ^{z n z} d après l hypothèse de récurrence.

( ) ^{z n 1}

La propriété est donc héréditaire.

Conclusion : pour tout entier naturel n strictement positif, z ⁿ ( ) ^{z n .}

4. Soit z une solution de l équation ( E), c'est-à-dire z ⁴ 4z ² 16 0.

Alors z ⁴ 4 z ² 16 = z ⁴ 4z ² 16 d après la question 3 = z ⁴ 4 z ² 16

= 0 car z solution de (E ).

= 0

z est donc une solution de ( E).

z solution de (E) z ⁴ 4 z ² 16 0 ( ) ^{z 2 2 4 z 2 16 0 z} ² solution de ( ) ^{E 1}

z ² = 2 2i 3 ou z ² 2 2 i 3 d après la question 1.

D après la question 2, les solutions de l équation z ² 2 2i 3 sont a et a.

a et a sont donc solutions de (E).

D après ce qui précède, a et a sont aussi des solutions de (E ).

1 i 3 ; 1 i 3 ; 1 i 3 et 1 i 3 sont ainsi quatre solutions distinctes de (E ).

(E) admettant au plus quatre solutions, on a S E { ^{1 i 3 1 i 3 1 i 3 1 i 3} } ^.