D1933. Les deux points remarquables
P est un point fixe du plan. On donne trois nombres réels positifs a, b et c. Parmi les triangles ABC tels que PA = a, PB = b et PC = c, on détermine :
1) le triangle T1 dont le périmètre est le plus grand. P est un point remarquable du triangle. Lequel ?
2) le triangle T2 dont l’aire est la plus grande. P est un point remarquable du triangle. Lequel ?
Application numérique : PA = 1, PB = et PC = + 1. Calculer le périmètre de T1 et l’aire de T2.
Solution de Jean Nicot
Q1 - Supposons les points A et B connus. Le point C est alors situé sur le cercle de centre P et de rayon c et sur une ellipse de foyers A et B possédant AC+CB
maximum. Cette ellipse doit donc être tangente au cercle (c) et PC perpendiculaire à l’ellipse ; PC est la bissectrice de l’angle ACB.
Cette caractéristique doit aussi être valable pour les autres couples de points.
P est donc le centre du cercle inscrit de ABC.
Pour pouvoir déterminer ABC, il faut exprimer r, rayon du cercle inscrit, en fonction de a, b et c.
Notons α, les demi-angles en A, B et C du triangle.
r = a sin α = b sin = c sin et
r= c cosc coscosc sinsinc coscosc r²/ab (c coscos² (r +cr²/ab)²=c² (1-r²/a²)(1-r²/b²) fournit l’équation
F(r) = 2abc r3 + (a²b²+a²c²+b²c²) r² -a²b²c² = 0 qui a un minimum négatif pour r=0 et un maximum pour une valeur négative de r, s’annule donc pour une unique valeur positive de r
La valeur du périmètre est fournie par L= 2(a cos a+ b cos b + c cos c) L = √ √ √ )
Application numérique : a=1, b=√ , c= 1+√
F(r) = 2√ 1+√ r3 + (14+6√ r² -8-4√ = 0 dont la solution est r = √ L = √ + √ + √ √ = 9,14162
Q2 - Supposons les points A et B connus. On aura une grande surface si la hauteur abaissée de C sur AB est grande, donc PC perpendiculaire à AB. La même
caractéristique sur les autres couples de points amène P à être l’orthocentre de ABC.
Notons l’angle BAP et l’angle ABP ; l’angle PCA de côtés perpendiculaires à ABP, vaut aussi
h la longueur de la partie PH de la hauteur CH abaissée sur AB. h=a sin = b sin
a cos√ CH tg(c+h) tgc+h √
D’où (a²-h²)(b²-h²) = h²(c+h)² puis
F (h)= 2c h3 + (a²+b²+c²) h² - a²b² = 0 équation en h qui n’a qu’une racine positive comme elle possède un minimum négatif pour h nul et un maximum pour h négatif.
La connaissance de cette racine permet de tracer CH, puis la perpendiculaire en H à CH et les points A et B en découlent.
La surface de ABC est S = CH * AB /2 = (c+h) (√ √ /2 Application numérique : a=1, b=√ , c= 1+√
F (h)= (2+2 √ ) h3 + (7+2 √ h² - 2 = 0 dont la racine positive est 0,39781 d’où S=3,55955
