I148 Les rencontres des quatre promeneurs [*** à la main]
Solution de Pierre Jullien
Peu importe la forme de la forêt. Ne retenons que le schéma ci-contre, où les
croisements sont notés de 1 à 6 ; les cinq premiers étant des points de rencontre des différents promeneurs, dans l’ordre chronologique.
La question devient Diophante et Charles arrivent-ils ensemble au point 6 ? La réponse est oui.
En effet, prenons un axe des temps qui traverse le plan de la forêt et désignons par a, b, c et d les graphes des mouvements des quatre promeneurs. Ce sont des droites puisque les mouvements sont uniformes
Ces droites se projettent, parallèlement à l’axe des temps, sur les sentiers A, B, C et D (trajectoires des quatre promeneurs).
Puisque Alexandre et Bertrand se rencontrent, les droites a et b se coupent (à la troisième rencontre). De même a et b coupent aussi c et d. Autrement dit, les quatre droites a, b, c et d sont dans un même plan. Donc c et d se coupent (au-dessus du point 6). Le croisement 6 est aussi le point de rencontre de Diophante et Charles.
Quant aux vitesses, elles dépendent d’un seul paramètre : la direction de la trace du plan des droites a, b, c et d sur le plan de la forêt. Cette direction est telle que les axes A, B, C et D la traversent dans le même sens.
Par exemple, si Diophante et Alexandre vont à la même vitesse, cette direction est perpendiculaire à la bissectrice des axes A et D.
D A B
C 1
6
5
4 3 2
