Axes de sym étrie, médiatrice, bissectrice

Leçon 20

:

Axes de sym étrie, médiatrice, bissectrice

Notion d'axe

de

symétrie

Cette séquence propose une méthode pour constuire une

figtrre

ayantun

ixe

de symétrie.

Les

figures I

et 2 sont construites _{d'après la même}

figurep.

On

plie la _figure I

de façon que A et

A'

se superposent.

Les deux parties de la

figure

situées de part et d'autre du

pli

sont superposables.

La droite

d

(le

pli)

est

l,axe

de symétrie de la figure

l.

On

plie

la figure 2 de façon que

A

et

A'

se superposent.

Les deux parties de la figure situées de part et d'autre du

pli

ne sont pas

_

superposables.

-

_La

_figure

_{2 ne possède pas}

d'axe de symétrie.

1.

Activité

1. Axe de

symétrie

a) Sur une feuille de papier non quadrillé.

- Tracer la

droite

d puis

marquer le

point M ^tel

^que

Med. En

pliant selon

la

droite d,

construire M'

symétrique de

M

^en transperçant sur

M

avec la pointe d'un compas.

-

Même travail pour le

point

N tel que

MN:

^g cm .

b)

Décalquer les deux figures ci-contre

- Par

pliage

_{autour de la droite d1, Que} remarque-t_on ?

La droite

d1 est-elle

I'axe

de symétrie de

la

figure ?

- Par

pliage

_{autour de la droite d2, Que} remarque-t_on ?

ta ^droite

^d2 est-elle

I'axe

de symétrie de

la

figure ?

2.La médiatrice d'un

segment

a)

Sur

une

feuille de papier calque, tracer

un

segment _[ABJ de

longueur

6 cm _; marquer

I

son milieu.

-

A l'aide

de l'équerre, tracer la droite d perpendiculaire à

[AB]

^en

I

; la droite d est la médiatrice

du segment

[AB].

-

A l'aide

du pliage,

vérifier

que d est l,axe

de l

symétrie

du segment

[AB].

- Sur la

droite

d, marquer le point M puis

compléter

la phrase Suivante :

Le

syrnétrie du segment

tMA]

^{pàr rapport à}

est le

segment

...

tel que MA:

On

dit

que

M

est équidistant de A et de B.

-

A l'aide

du compas, construire les points

N,

p, R et S tels ^.

queNA : _{NB=5cm ; PA} :

PB

=5cm ; ^RA :

RB'= 7

cm;

SA

: _SB -

^{7 cm.}

Où sont situés les points

N,

p, R et S ?

b) constfrrction

de la médiatrice d'un segment avec le compas - Tracer

uir

segment

[AB]

de longueur 6 cm.

- Avec

le

compas construire les points

M

et

p

à égale ditance des

pointsAetBdeTcm.

- Tracer

la

droite (N/P).

vérifier

qu'elle est perpendiculaire au

segment

[AB]

^{en son}

^milieu.

La

droite

(MP) est

la ..

du segment

tABl.

138

3. La

bissectrice

d'un

angle.

a) Sur une

feuille

de papier calque, construire un angle xôy.

- Plier la

feuille

de façon que les demi-droites

[ox)

et [oy ) ^se supperposent.

- Déplier puis tracer _la droite d

suivant

le pli.

b) La

droite d est

I'axe

de symétrie

d,une

figure formée par deux demi-droites

[ox) et

_[oy).

I

^est un point de d, on dit qu-e les angles

xôl et lôysont...parrapport

_à

d. o

Comparer les mesures de ces deux angles.

2.

^Essentiel

l.

Axe de

symétrie

d'une

frgure

Une droite d est un axe de

symétrie

d'une figure si les deux parties de la figure se supperposent par

pliage

selon cètte droite.

Exemple :

La

droite d est I'axe de syrnétrie de la figure.

On peut vérifier par

pliage

selon la droite d.

2. Médiatrice d'un

segment

La médiatrice

d'un

segment est

la

droite perpendiculaire _{à ce} segment en son milieu.

M ^est sur la médiatrice ae

[ae]

139

Propriétés

-Tout

point qui

appartient à la médiatrice

d'un

segment est équidistant, c?est-à-dire

à

égare distance, des extrémités de ce segment.

- Tout

point qui

est équidistant des extrémités

d'un

segment appartient

à la médiatrice de ce segment.

3

Construction de la

médiatrice

d'un segment.

Pour construire la médiatrice d'un segment, deux

points

à égale distance des extrémités.

3. La

bissectrice d'un angle Labissectrice

d'un angle est

la

droite d

qui

partage cet angle en deux angles égaux.

Propriété

^:

La bissectrice d'un angle est

I'axe

de symétrie de cet angle.

Méthodes

de construction

a)

Construction de la médiatrice d'un segment avec la règle et le compas.

Exemple ^:

construire la mèdiatrice

du

segment

[AB].

- On trace deux arcs de cercle, de centre

A

et

B,

et de même

rayon

(supérieur à la moitié de

[AB]).

^{Ils se} coupent en deux poinrs

I

^et J.

- On trace la droite

(IJ)

_;

_elle

est la médiatrice du segment

tAB].

il suffit

dè construire

xoy

Etape I

if

Bissectrice de l'angle

L40

b)

Construction de la bissectrice

d'un

angle.

Exemple :

Avec la règle et le compas, construire la bissectrice de

I'anglexôy

- On trace un arc de cercle de centre O qui coupe les côtés de

I'angle

en deux points

I

et J.

- On trace deux arcs de cercle de centres

I

et J et de même rayon _;

ils

se coupent en un point

M.

- On trace [a droite (OM) _;

elle

est la bissectrice de I'anglexôy .

r41,

Exercices

1.

La figure ci-contre admet-elle

I'axe

de symétrie?

-

Si oui, reproduire _cette

figure

puis tracer

I'axe

de symétrie.

-

Si non, la modifier pour

qu,elle

possède

I'axe

de symetrie.

2-

a)

sur

votre

cahier, reproduire les figures suivantes.

b)

Parmi ces figures, quelles

sont

celles qui ont un ou plusieurs

,

^{axes de symetrie ?} Tracer ces axes en rouge.

3.

Pour chaque panneau de signalisation ci-dessous, indiquer combien d'axes de symétrie admet le panneau.

1.42

4. r)

Sur papier quadrillé, tracer un segment

[AB]

de longueur 10 cm puis

sur

ce segment, marquer le point C

tel

que

AC=6cm.

b)

Avec la règle

et

l'équerre, construire les médiatrices des segments

tABl ^et

[AC].

5.

Construire un segrnent

[AB]

^{et sa} médiatrice d.

- sur

la droite d, placer les points

I

^et H pour que la

droite

(AB)

soit

la médiatrice du segment [IFII.

6- construire un

triangle

ABC. Avec

le

compas, qonstruire _les médiatrices des

côtés

AB,

AC

et

BC.

eue remarque-t-on ^?

7.

Soit ABCD un parallélogramme. Les droites d1 et d2 sont les

médiatrices des côtés [AB] ^et

[CD]. eue

^peut-on

dire

les droites dl

. ^etdz?.

8-

Soient trois

points

non alignés

A, B

et C. Construire la médiatrice de _[ABJ et

[AC].

^{Elles se coupent en}

I.

Montrer que

I

^est situé sur

la

médiatrice de

[BC].

Si

les points

A, B

et C sont alignés, que se passe-t-il ?

9.

Construire la bissectrice d'un angle

a)

Construire I'angl

e

xôy tel que xôy

-79"

^.

b)

Avec la règle

et le

compas, construire la droite_d, bissectrice de

I'angle xôy.

c)

Avec le rapporteur, vérifier que d partage I'angle xô14

en

deux angles égaux

de 35'

^.

l0- a)

Construire

un

triangle ABC _tel

que

BC ₌

l0

cm,

AI| :

6 cm

etAC-9cm

b)

Avec la

règle

et le compas, construire I'angle

nïC

^{et sa}

bissectrice.

Elle

coupe le segment [BC] ^{en I.}

Comparer les longueurs

BI

et

IC.

Le

point

I est-il

le milieu de

[BC]

^?

I I .

a)

Construire

un

triangle ABC tel

que

nÀC ₌ I 1.0",

AEi:6cm, AC:lOcm.

b)

Ave'c la règle et le compas, construire d, la bissectrice de

I'angle

aÀC

^.

Elle

coupe le

côté

_[BC] en

I.

_Quelle est la mesure de I'angle

sÀt

^z

c) Avec la règle graduée, placer :

-

^{le point} E, symétrique de B par rapport à d.

L43

- le

point

F, symétrique de C par rapport à d.

Tracer

le

segment [EF].

En

quel point

coupe-t-il

le côté

tBCl

^? Quel est

leur

axe de symétrie ?

12. a) Reoroduire la figure ci-contre avec AO _{= 4} cm .

b) Avec la

règle

et le compas, construire

l'axe de symétrie de cette

figure. .

^.

Que

peut-on

dire de cet axe pour I'angle

eôg

^Z

AC=CB

AD=DB

A

13. Les segments

tABl

^et [CD]

ont

la même longueur égale à 5 cm.

Ils

se

coupent en

I ^tel

que AI ₌

IC: 2 cm.

a)

Faire

la figure

sur le papier non

quadrillé

avec DÎB ₌ 190'.

b)

Avec la

règle

et le compas,

construire

l'axe

de symétrie de cette figure.

Quelle est

la

nature du quadrilatère

ACBD

?

14.

a)

Sur la

figure

ci-contre, à

I'aide

de la règle et de l'équerre,

vérifier

que les droites

(CD)

et

(AB)

_sont perpendiculaires _et

que

(CD)

passe.par Ie

milieu

de

[AB].

c)

Compléter les phrase suivantes :

Si le

point I

est équidistant des extrémités

du

segment

[AB],

alors ...

:

Lorsque

AC :

_{CB, C est sur}

Lorsque .:..., D

est

surl'axe

de symétrie de

tAB].

La médiatrice du segment

[AB]

^{est la droite}

ou

bien la médiatrice

d'un

segment est perpendiculaire _{à ce} segment en son milieu.

Donc

(AB) ...,

(CD) et

(CD)

esr la

l5- a)

sur le

papier

non quadrillé, placer le point

c sur

le segment

tAB]

^{de longueur}

^l0

^cm

tel

que

AC:6cm.

b)

Avec Ia

règle

et l'équerre, construire les médiatrices des

segments

[AB]

^et [AC]. Que remarque-t-on ^?

L44

16.

a)

Sur le papier

non

quadrillé, tracer un cercle de centre

o

^{et de}

rayon 4 cm.

Marquer

deux points

A

et B surce cercle.

b)

En utilisant la

règle

et le compas, construire la médiatrice du segment

tABl.

Expliquer

pourquoi

la médiatrice passe par le centre

o

^{de ce}

cerele.?

17. Trouver les differences de deux parties de la figure ci-dessous pour que la droite

d

soit son rxe de symétrie _de cette

figure.

18.

a)

Reproduire la

figure

ci-dessous.

b)

construire le cercle

c'symétrique

de

c

^par *ppom à Ia droite d.

c)

Par rapport à la

droite

d, trouver les symétriques des segments

[Io], [Jo]

^et

Kol.

d)

construire les

pointsA, B'et c'symétriques

des points

A,

B et C par rapport à la

droite

d puistracer le triangle

A,B'C'.

19.

a)

Reproduire la

figure

ci-contre.

b)

Construire le

point

C'symétrique de C par rapport à la droite d puis

décrire la constrction.

145

20 . Triangle rectangle.

a)

Construire

un

triangle

ABC

rectangle en A

tel

que AÔn ₌ 60'et

CA:3

cm.

b)

Construire le triangle BCE symétrique du

triangle

ABC par ,

rapport à la droite (BC). Quelle ^{est la nature} du triangle BCE ?

c)

Construire le triangle FAC symétrique du triangle ABC par rapport à la

droite

^(AC).

d)

Que peut-on

dire

des points F, C et E

?

^'

Compléter les phrases suivantes :

2l.Par

la symétrie axiale.

Indiquer

les phrases suivantes par

vrai

ou faux.

1.

Si trois points sont alignés alors ses symétriques sont alignés.

2. Si

^quatre

points

sont corycliques alors ses symétriques sont cocycliques.

Deux

quadrilatères symétriques

ont

le même périmètre.

Un

segment a

un

seul axe de symétrie.

jloute

droite passant par le centre

d'un

cercle est son axe de

'

_symétrie.

6.

Une

droite a un seul axe de symétrie.

7. Si MI:MJ

alors

M

^est le

milieu

de

[IJ].

8.

Il ^y

^a deux

points

qui sont équidistants à A et à B.

9.

La

bissectrice

d'un

angle droit partage cet angle'en deux angles de 45"

10.

La

bissectrice

d'un

angle partage cet angle en deux angles aigus de même mesure.

22. a) Reproduire

la

figure ci-contre.

b)

Construire les points E et F symétriques des points B et C par rapport à

la

droite d.

-

J.

4.

5.

Les

angles

nÔn et

BÔA sont symétriques par

rapport

à la droite (BC),

on

a

: ...: ...:

^60'

De

même,les angles ..:.. et ...sont symétriques par rapport à la

droite

on a

donc: ...:...:60"

ou ^nÔp _-

^{EÔn +}

^nÔ,a+,qôr

nÔP=...f...+...

L'angle ECF

est un angle plat donc les points E,

C

et F sont

c)

Calculer le

périmètre

du triangle AEF.

d)

Que peut-on

dire la

droite d pour

I'angle CÀpt

Pour le segment

[BE]

^?

e)

_Quel est le

point

d'intersection des droites (BC) et (EF)?

23.

a)

Reproduire la

figure

ci-contre :

Par rapport à la

droite d',

quel est

le

_.

symétrique de C1 ,

de

C2et de d ?

b)

_Que peut-on dire

les pointsA

et

B

?

E

et F ? les longueurs

AE

et BF ?

24. Reproduire

oudécalquer

chaque figure

puis

ses axes de symétrie.

\=2cm

12=3cm

tracer en

couleur

a=lcm. r:2cm

b =

4cm c:2cm

25.Tracer les segments

[AB] ^et [AC]

^{tel que}

AR:AC:5cn.BÀC:85'

puis tracer les médiatrices des côtés

tABl

^et

[AC]

^{et la} bissectrice de

- I'angle nÀC.

r =4cm

I47