[ Baccalauréat F 11 - F 11
′France juin 2001 \
Durée : 2 heures Coefficient : 2
EXERCICE 8 points
On considère la fonctionf définie surRpar :
f(x)=ex¡ 4−ex¢
.
On désigne parf′la fonction dérivée def. On donne ci-dessous la courbe représen- tativeC de la fonction f dans le repère orthogonal d’unités graphiques 2 cm pour les abscisses et 1 cm pour les ordonnées.
-4 -3 -2 -1 0 1 2
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
O 1
1 A
B
C E
1. a. Étudier la limite de la fonctionf en+∞.
b. Étudier la limite de la fonction f en−∞. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
2. a. Calculer f′(x).
b. Déterminer une équation de la tangente à la courbeC au point A d’abs- cisse 0.
c. La tangente à la courbeC au point B est parallèle à l’axe des abscisses.
Calculer les coordonnées de B.
d. Étudier le signe de f′(x) surRpuis dresser le tableau de variations de la fonctionf.
3. a. Calculer les coordonnées du point d’intersection E de la courbeC et de l’axe des abscisses.
Baccalauréat F 11 - F 11′ A. P. M. E. P.
b. Par lecture graphique, déterminer le nombre de solutions de l’équation f(x)=1 puis encadrer chaque solution par deux entiers consécutifs.
PROBLÈME 12 points
IOn considère une fonctionf dé- finie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par :
f(x)=ax+b+2 x
où a et b désignent deux nombres réels.
La courbe C ci-contre est la courbe représentative de la fonc- tion f dans un repère orthonor-
mal d’unité graphique 1 cm. -1 0 1 2 3 4 5
-2 -1 0 1 2 3 4 5
O 1
C
1
1 1/2
1. a. On désigne parf′la fonction dérivée de la fonctionf. Calculerf′(x) en fonction deaetx.
b. Sachant quef µ1
2
¶
=0 etf′(1)=0, déterminer les valeurs des réelsaetb.
2. Par lecture graphique :
a. déterminer la valeur entière def(2).
b. déterminer le signe def(x) sur l’intervalle ]0 ;+∞[.
3. On posea=2 etb= −5.
a. Montrer que la droite à∆d’équationy=2x−5 est asymptote à la courbe C en+∞.
b. étudier la position relative de la courbeC et de la droite∆sur l’intervalle ]0 ;+∞[.
IIOn considère la fonctiongdéfinie sur ]0 ;+∞[ par :
g(x)=x2−5x+2lnx.
On appelleΓsa courbe représentative dans un repère orthonormal³ O,−→
ı ,→−
´d’unité graphique 2 cm.
1. a. Déterminer la limite de la fonctiong en 0. Que peut-on en déduire pour la courbeΓ?
b. Vérifier queg(x)=x µ
x−5+2lnx x
¶
puis déterminer la limite de la fonc- tiongen+∞.
2. a. Montrer que la fonctiong est une primitive de la fonctionf sur l’inter- valle ]0 ; +∞[. En déduire les variations de la fonctiong sur l’intervalle ]0 ;+∞[.
b. Donner les valeurs exactes deg(1) et deg(2) puis les valeurs décimales approchées à 10−1près par défaut.
France 2 juin 2001
Baccalauréat F 11 - F 11′ A. P. M. E. P.
c. Dresser le tableau de variations de la fonctiong.
3. a. Recopier et compléter le tableau à l’aide des valeurs décimales arrondies à 10−1deg(x).
x 0,2 1 2,5 3,5 4 5
g(x)
b. Tracer les tangentes à la courbe parallèles à l’axe des abscisses puis la courbeΓdans le repère³
O,−→ ı ,→−
´.
France 3 juin 2001
