Problème 2 : Etude d'un procédé de sommation

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DM n ^◦ 5

A rendre mercredi 13 novembre 2019

Problème 1 : Densité des sous-groupes de R

On dit qu'un sous-ensembleE deRest dense dansRlorsque∀(a, b)∈R², a < b=⇒ ∃x∈E∩]a, b[.

Preliminaires

1. Montrer que siE est dense dansR, alors tout intervalle deRcontient une innité d'éléments deE. 2. Montrer queE est dense dansRsi et seulement si∀x∈R, ∃(an)_n∈N ∈E^Ntelle que lim(an) =x 3. Donner un exemple d'ensembles denses dansRet d'ensembles non denses dansR.

Partie I

Le but de cette première partie est d'établir le résultat suivant :

si Gest un sous-groupe additif deR, alors ou bien∃a∈R, G=aZ, ou bien Gest dense dansR.

SoitGun sous-groupe additif non trivial deR. SoitG^∗₊=G∩]0,+∞[. 1. Montrer queG^∗₊6=∅.

On noteλ= infG^∗₊. 2. On suppose ici queλ >0.

(a) Montrer queCard([λ,2λ[∩G^∗₊)≥1. (b) Montrer que Card([λ,2λ[∩G^∗₊) = 1.

(c) Montrer queG^∗₊ =λN^∗. (d) Quel est alors l'ensembleG? 3. On suppose maintenant queλ= 0.

En supposant donnés deux réelsaetb, aveca < b, (a) justier l'existence det∈G^∗₊ / 0< t < b−a, (b) et prouver que∃n₀∈Z/ n₀t∈]a, b[. Conclure.

Partie II : applications

1. Pourθ∈R, on poseZ[θ] ={p+qθ ; (p, q)∈Z²}(Z[θ]se note aussiZ+θZ) (a) Montrer que siθ /∈Q, alorsZ[θ]est dense dansR.

(b) Montrer que si θ∈Q, (θ=u

v, avecu∈Z, v∈N^∗et u∧v= 1) alors∃c∈R/Z[θ] =cZ.

Préciserc.

2. SoitH un sous-groupe multiplicatif deR^∗+.

Montrer que ou bien∃α >0/ H={αⁿ; n∈Z}, ou bienH est dense dansR⁺.

3. SoitY ={cosn; n∈N}Montrer que l'ensembleY est dense dans[−1,1](on pourra d'abord montrer queY est l'image deZ+ 2πZpar la fonctioncoset utiliser le préliminaire)