Les suites
Exercice 1 : On considère la suite numérique définie pour tout entier naturel par : = 3 et = −1
3 − 5 1) Calculer et .
2) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel , =27
4 −1 3
−15 3) Quelle est la limite de la suite ? 4
Exercice 2 : On considère la suite numérique définie pour tout entier naturel par : = 5 et = 4 − 9
+ 2
1)a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel , > 1. b) Démontrer que, pour tout entier naturel ,
− = −− 1 + 2 . La suite est-elle monotone ?
c) En déduire que la suite est convergente.
2) On considère la suite définie pour tout entier naturel par : = 1
− 1 a Démontrer que est une suite arithmétique de raison 1
3.
b) En déduire l’expression de puis celle de en fonction de . c) En déduire la limite de la suite .
Exercice 3 : Étudier la limite des suites : = −2+ 4 + 5, = 3− + 1
*+ 3 , + = √2 + 1 − √2 − 1 - = 3− 10, / =0321− 0121
0321+ 0121
Exercice 4 :
On considère la suite définie par : = 0 et, pour tout ∈ ℕ, = 3− 2 + 3. 1. On considère le programme Scilab suivant :
N=input(‘entrer un entier naturel N :’) U=0
for k= --- U= --- end
disp(---)
(a) Compléter ce programme afin qu’il affiche le terme de rang 4 de la suite . (b) Quel est l’affichage en sortie lorsque 4 = 3 ?
2. Calculer et .
3. (a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel , ≥ . (b) En déduire la limite de la suite .
4. Démontrer que la suite est croissante.
5. Soit la suite définie, pour tout entier naturel , par = − + 1. (a) Démontrer que la suite est une suite géométrique.
(b) En déduire que, pour tout entier naturel , = 3+ − 1 puis donner la limite de . 6. Soit 6 un entier naturel non nul. Proposer un programme en Scilab qui, pour une valeur de 6 donnée, affiche la valeur du plus petit entier tel que, pour tout ≥ , on ait ≥ 107.
Exercice 5 :
Soit la suite définie par = −1 et, pour tout entier naturel , = + 2.
1. Montrer que la suite définie pour tout ∈ ℕ par = − 4 est une suite géométrique dont on déterminera le premier terme et la raison.
2. Calculer en fonction de . 3. Calculer 8 = + + ⋯ + . 4. Calculer les limites de et :;
quand tend vers +∞. Exercice 6 :
On considère les suites et définies par = 2, = −3 et pour tout entier naturel n,
= = − − =4
3 +5 3
1. Calculer et . Puis montrer que pour tout entier naturel , = * +* . 2. Calculer puis en fonction de .
3. En déduire les limites des suites et . Exercice 7 : (D’après ESC 2005)
Soit la suite définie par =* et ∀ ∈ ℕ∗, = * +*;@A . Soit la suite définie pour tout ∈ ℕ∗ par = +*;.
1. Montrer que la suite est une suite géométrique.
2. Déterminer en fonction de et de . 3. En déduire en fonction de .
Exercice 8 :
On considère la suite définie sur ℕ∗ par : = 1
+ 2
+ ⋯ Déterminer la limite de la suite .
Exercice 9 :
On considère la suite définie sur ℕ∗ par : = 1
+ 1
+ 1 + 1
+ 2 + ⋯ + 1 + 2 + 1.
1. (a) Montrer que, pour tout entier B compris entre 0 et 2 + 1, on a : + 2 + 1 ≤1 1
+ B ≤ 1 (b) En déduire un encadrement de .
2. Justifier la convergence de la suite et donner sa limite.
Exercice 10 :
On définit deux suites et par : et deux réels tels que ≥ et pour tout ∈ ℕ, = +
2 DE =+ 3 4 1. Montrer que pour tout ∈ ℕ, − = 0F1− . 2. Etudier la monotonie des suites et .
3. Montrer que les suites et sont adjacentes.
4. Montrer que la suite + de terme général + = 2+ 4 est constante.
5. Exprimer et en fonction de , et .
6. En déduire la limite commune de et en fonction de et .
