Révisions – Suites et Scilab
Exercice 1 : On considère la suite numérique (𝑢 ) définie pour tout entier naturel 𝑛 par : 𝑢 = 3 et 𝑢 = −1
3𝑢 − 5 1) Calculer 𝑢 et 𝑢 .
2) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢 =27
4 −1
3 −15 3) Quelle est la limite de la suite (𝑢 ) ? 4
4) Écrire un programme en Scilab qui calcule et affiche le terme 𝑢 , pour une valeur de 𝑛 entrée par l’utilisateur.
Exercice 2 :
Soit la suite (𝑢 ) définie par 𝑢 = −1 et, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢 = 𝑢 + 2.
1. Montrer que la suite 𝑣 définie pour tout 𝑛 ∈ ℕ par 𝑣 = 𝑢 − 4 est une suite géométrique dont on déterminera le premier terme et la raison.
2. Calculer 𝑢 en fonction de 𝑛.
3. Calculer 𝑆 = 𝑢 + 𝑢 + ⋯ + 𝑢 .
4. Calculer les limites de 𝑢 et quand 𝑛 tend vers +∞.
Exercice 3 : D’après ESC 2005
Soit la suite (𝑢 ) définie par 𝑢 = et ∀𝑛 ∈ ℕ∗, 𝑢 = 𝑢 + . Soit la suite (𝑣 ) définie pour tout 𝑛 ∈ ℕ∗ par 𝑣 = 𝑢 + .
1. Montrer que la suite (𝑣 ) est une suite géométrique.
2. Déterminer 𝑣 en fonction de 𝑛 et de 𝑣 . 3. En déduire 𝑢 en fonction de 𝑛.
Exercice 4 :
On considère l’application 𝜑 définie sur ℝ par 𝜑(𝑥) = 1 − 𝑥 ln(𝑥) si 𝑥 > 0 1 sinon
On considère deux suites (𝑎 ) et (𝑏 ) définies par 𝑎 = √2, 𝑏 = 2 et, pour tout entier naturel 𝑛 : Si 𝜑(𝑎 )𝜑 𝑎 + 𝑏
2 < 0, alors 𝑎 = 𝑎 et 𝑏 =𝑎 + 𝑏 2 Si 𝜑(𝑎 )𝜑 𝑎 + 𝑏
2 ≥ 0, alors 𝑎 = 𝑎 + 𝑏
2 et 𝑏 = 𝑏 Écrire un programme qui calcule et affiche 𝑎 et 𝑏 .
(On pourra créer une fonction phi définie dans l’énoncé) Exercice 5 :
On considère la suite (𝑢 ) définie par : 𝑢 = 0 et, pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 𝑢 = 3𝑢 − 2𝑛 + 3.
1. On considère le programme Scilab suivant :
N=input(‘entrer un entier naturel N :’) U=0
for k= --- U= --- end
disp(---)
(a) Compléter ce programme afin qu’il affiche le terme de rang 𝑁 de la suite (𝑢 ).
(b) Quel est l’affichage en sortie lorsque 𝑁 = 3 ? 2. Calculer 𝑢 et 𝑢 .
3. (a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢 ≥ 𝑛.
(b) En déduire la limite de la suite (𝑢 ).
4. Démontrer que la suite (𝑢 ) est croissante.
5. Soit la suite (𝑣 ) définie, pour tout entier naturel 𝑛, par 𝑣 = 𝑢 − 𝑛 + 1.
(a) Démontrer que la suite (𝑣 ) est une suite géométrique.
(b) En déduire que, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢 = 3 + 𝑛 − 1 puis donner la limite de (𝑢 ).
6. Soit 𝑝 un entier naturel non nul. Proposer un programme en Scilab qui, pour une valeur de 𝑝 donnée, affiche la valeur du plus petit entier 𝑛 tel que, pour tout 𝑛 ≥ 𝑛 , on ait 𝑢 ≥ 10 .
Exercice 6 :
On considère la suite (𝑢 ) définie sur ℕ∗ par : 𝑢 = 1
𝑛 + 1
𝑛 + 1+ 1
𝑛 + 2+ ⋯ + 1 𝑛 + 2𝑛 + 1. 1. (a) Montrer que, pour tout entier 𝑘 compris entre 0 et 2𝑛 + 1, on a :
1
𝑛 + 2𝑛 + 1≤ 1
𝑛 + 𝑘 ≤ 1 (b) En déduire un encadrement de 𝑢 . 𝑛
2. Justifier la convergence de la suite (𝑢 ) et donner sa limite.
Exercice 7 : : On considère la suite numérique (𝑢 ) définie pour tout entier naturel 𝑛 par : 𝑢 = 5 et
𝑢 = 4 − 9
𝑢 + 2
1)a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢 > 1.
b) Démontrer que, pour tout entier naturel 𝑛,
𝑢 − 𝑢 = −(𝑢 − 1) 𝑢 + 2 . La suite (𝑢 ) est-elle monotone ?
c) En déduire que la suite (𝑢 ) est convergente.
2) On considère la suite (𝑣 ) définie pour tout entier naturel 𝑛 par :
𝑣 = 1
𝑢 − 1 a) Démontrer que (𝑣 ) est une suite arithmétique de raison 1
3. b) En déduire l’expression de 𝑣 puis celle de 𝑢 en fonction de 𝑛.
c) En déduire la limite de la suite (𝑢 ).
Exercice 8 : Étudier la limite des suites : 𝑢 = −2𝑛 + 4𝑛 + 5, 𝑣 =3𝑛 − 𝑛 + 1
𝑛 + 3 , 𝑤 = √2𝑛 + 1 − √2𝑛 − 1
𝑥 = 3 − 10 , 𝑦 = 3
2 − 1
2 3
2 + 1
2
Exercice 9 :
On considère les suites (𝑢 ) et (𝑣 ) définies par 𝑢 = 2, 𝑣 = −3 et pour tout entier naturel n, 𝑢 = −𝑢 − 𝑣
𝑣 =4
3𝑢 +5 3𝑣
1. Écrire un programme en Scilab qui calcule et affiche les termes 𝑢 et 𝑣 , pour une valeur de 𝑛 entrée par l’utilisateur.
2. Calculer 𝑢 et 𝑣 . Puis montrer que pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢 = 𝑢 + 𝑢 . 3. Calculer 𝑢 puis 𝑣 en fonction de 𝑛.
4. En déduire les limites des suites (𝑢 ) et (𝑣 ) .
Exercice 10 :
On définit deux suites (𝑢 ) et (𝑣 ) par : 𝑢 et 𝑣 deux réels tels que 𝑢 ≥ 𝑣 et pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 𝑢 =𝑢 + 𝑣
2 𝑒𝑡 𝑣 =𝑢 + 3𝑣 4 1. Montrer que pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 𝑢 − 𝑣 = (𝑢 − 𝑣 ).
2. Étudier la monotonie des suites 𝑢 et 𝑣.
3. Montrer que les suites 𝑢 et 𝑣 sont adjacentes.
4. Montrer que la suite 𝑤 de terme général 𝑤 = 2𝑢 + 4𝑣 est constante.
5. Exprimer 𝑢 et 𝑣 en fonction de 𝑢 , 𝑣 et 𝑛.
6. En déduire la limite commune de(𝑢 ) et (𝑣 ) en fonction de 𝑢 et 𝑣 .
