Di ff érentes preuves du théorème de Wedderburn

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Di ff érentes preuves du théorème de Wedderburn

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A.— Preuve utilisant la formule des classes pour l’aion de conjugaison :SoitK un corps fini de centre Z. Siq =]Z alors il exien≥1 tel que ]K =qⁿ. On fait agir K^∗ sur lui-même par conjugaison. Pour toutx∈K^∗, l’ensembleN(x) conitué duabilisateur dexauquel on a rajouté {0}eun sous-corps deK. Il exie donc un entierδ(x)≥1 divisantntel que]N(x) =q^δ(x). Par définition deZ, les orbites ponuelles deK^∗correspondent biunivoquement aux éléments deZ^∗, si bien que, si l’on considère x₁,· · ·, x_h une classe de représentants dansK^∗ des orbites, alors la formule des classes donne

qⁿ−1 =]K^∗=]Z^∗+ Xh

i=1

K^∗

N(x_i)^∗ =q−1 + Xh

i=1

qⁿ−1 q^δ(xi)−1

On considère alors le polynômeP(X) =Xⁿ−1−

h

X

i=1

Xⁿ−1

X^δ(xi)−1. La formule précédente se traduit parP(q) =q−1. Les propriétés classiques des polynômes cyclotomiques montrent que le polynôme cyclotomiqueΦ_n(X) divise dansZle polynôme ^X_Xⁿ_d⁻₋¹₁ pour tout diviseurd den. Ainsi,Φ_n(X) e un diviseur deP(X) et doncΦ_n(q) diviseq−1. Cette dernière propriété n’epossible que sin= 1, car sin≥2 alors|q−ξ|>|q−1|pour toute racine primitiven-ième de l’unitéξ. Ainsi,n= 1 et K=Zecommutatif.

B.— Preuve utilisant le théorème de Skolem-Noether :Rappelons le théorème en queion, Théorème.— Soient A une algèbre simple de dimension finie sur son centrek et B₁, B₂ deux sous- algèbres simples deA,k-isomorphes. Toutk-isomorphisme deB₁surB₂se relève en un automorphisme intérieur deA.

Considérons un corps finiK et notonsk son centre. Pour des raisons de cardinalité, K une algèbre simple de dimension finie surk. Les sous-corps commutatif maximaux deK ont même dimension surk, ils ont donc même nombre d’éléments et sont donc isomorphes, puisque com- mutatifs. Le théorème de Skolem-Noether assure alors qu’ils sont conjugués deux-à-deux dans K.

Remarquons maintenant que six∈K alors le corpsk(x) ecommutatif. Ainsi, tout élément deK^∗econtenu dans un sous-corps commutatif maximal deK. Ainsi, si l’on considère un sous- corps commutatif maximalL, on a

K^∗=[

x∈K^∗

xL^∗x⁻¹

Pour l’aion de conjugaison deK^∗sur l’ensemble des groupes multiplicatifs des sous-corps com- mutatifs maximaux, le normalisateur deL^∗ contientL^∗. On en déduit que le nombrende parties xL^∗x⁻¹emajoré par [K^∗:L^∗].

Considérons des élémentsx1,· · ·, xn∈K^∗ tels queK^∗ =Sn

i=1xiL^∗x_i⁻¹. Puisque]K^∗=]L^∗.[K^∗: L^∗]≤]Pn

i=1xiL^∗x_i⁻¹=n]L^∗, on en déduit quen= [K^∗:L^∗] et que, pour touti,j,xiL^∗x⁻_i¹∩xiL^∗x⁻_i¹=



∅(i.e. K^∗=Fn

i=1x_iL^∗x⁻_i¹). Puisque 1∈x_iL^∗x⁻_i¹pour touti= 1,· · ·, n, on en déduit finalement que n= 1 et donc queK=L.

C.— Preuve utilisant la cohomologie des groupes cycliques : Considérons un corps fini K et notonskson centre. En tant quek-algèbre simple centrale,Kpossède un corps neutralisantL, qui eune extension commutative finie dek. PuisqueLeun corps neutralisant deK, la classe de K dans le groupe de Brauer dekedans le noyau de l’application canonique Br(k)−→Br(L). La théorie du groupe de Brauer assure que le noyau de ce morphisme eisomorphe au groupe de cohomologie H²(Gal(L/k), L^∗). Nous allons montrer que ce dernier enul, ce qui prouvera que la classe deK dans Br(k) etrivial, c’e-à-dire queK=k.

La théorie de Galois assure que Gal(L/k) e un groupe cyclique, le groupeL^∗ e lui aussi cyclique et le théorèmed’Hilbert assure que H¹(Gal(L/k), L^∗) = 0. La preuve s’achève en con- sidérant le résultat classique de cohomologie des groupes cycliques :

Proposition.— SoitC un groupe cyclique etGunC-groupe abélien. SiGefini, alorsH¹(C, G)et H²(C, G)sont des groupes finis de même ordre (i.e. le quotient de Herbrand vaut1).

Les preuves qui suivent visent à montrer que le groupe de Brauer d’un corps fini (commutatif) etrivial. Cette propriété équivaut en fait au théorème de Wedderburn. En effet, siKeun corps fini, dire queK ecommutatif équivaut à dire qu’il eégal à son centrek, ce qui équivaut bien à dire que Br(k) etrivial pour tout corps commutatif finik.

D.— Preuve utilisant théorème de Chevalley-Waring :Rappelons le théorème en queion, Théorème.— Soient k un corps fini (commutatif), un ensemble fini d’indices I et pour tout i ∈ I, f_i(X₁,· · ·, X_n)∈k[X₁,· · ·, X_n]un polynôme sans terme conant. SiX

i∈I

d^◦f_i < n, alors lesf_i possèdent un zéro non trivial en commun.

En particulier, les corps finis (commutatifs) sontC¹, c’e-à-dire qu’ils vérifient quetoute forme de degré d ennvariables possède un zéro non trivial dés que d < n. Les corps C¹ ont toujours un groupe de Brauer trivial. Donnons quelques explications sur ce dernier point :

Soient k e un corps C¹ et L/k une extension finie de degrén. Si l’on choisit une k-base (e₁,· · ·, e_n) deL, alors pour toutz∈k^∗, l’applicationf :kⁿ⁺¹−→kdéfinie par

f(x₁,· · ·, x_n, x_n+1) =N_L/k(x₁e₁+· · ·+x_ne_n)−xⁿ_n+1z

eune forme de degrénenn+ 1 variable. Elle possède donc un zéro (x₁,· · ·, x_n, x_n+1) non trivial et ce dernier ne peut pas vérifier quex_n+1= 0. On a doncz=N_L/k(_x^x1

n+1e₁+· · ·+_x^xn

n+1e_n). On vient donc de montrer que la normeN_L/kesurjeive pour tout extension finieL/k. Cette dernière propriété eéquivalente au fait que le groupe de Brauer de toute extension algébrique deketrivial (voir [Serre, Cohomologie galoisienne,.. Proposition.]). En particulier, Br(k) = 0.

E.— Preuve utilisant la dimension cohomologique : Soitkun corps fini (commutatif). On sait quek'F_qavecq=p^aune puissance d’un nombre premier. La théorie de Galois montre que, pour toutn≥1,kpossède une et une seule extension de degrén: F_qn. L’extensionF_qn/F_qecyclique



et comme on a l’extensionF_qm/F_qnsi et seulement sin|m, on en déduit que Gal(k/k) = lim←−−Gal(F_qn/F_q)'lim←−−GalZ/nZ=Zb

Le groupe profinibZeprolibre (de rang 1), il edonc projeif (i.e. sa dimension cohomologique e ≤1). D’après [Serre, Cohomologie galoisienne,.. Proposition.], cette propriété équivaut aussi à dire que le groupe de Brauer de toute extension algébrique deketrivial.

