K N est un anneau. C'est aussi un K-espae vetoriel, et don une K-algèbre.

Équations de réurrene linéaire

Ilestrappeléquelejuryn'exigepasuneompréhension exhaustivedutexte.Vousêteslaissé(e)

libre d'organiser votre disussion omme vous l'entendez. Il vous est onseillé de mettre en

lumièrevosonnaissanesàpartirdulonduteuronstituéparletexte.Lejurydemandeque

la disussion soit aompagnée d'exemples traités sur ordinateur. Il est souhaitable que vous

organisiez votreprésentation ommesi lejury n'avaitpas onnaissanedu texte.Le juryaura

néanmoins letextesouslesyeuxpendant votreexposé.

1. Introdution

Danse texte,on s'intéresseauxsuites vériant une équationde réurrenelinéaire.

Le paragraphe 2étudie théoriquement l'ensemble dessolutions d'unetelle équation, et

enpartiuliersadimension.Lesparagraphes3et4sontalgorithmiquesetserapportent

auxéquations dont les oeients sont polynomiaux. Le paragraphe 3 donne un algo-

rithme pour en trouver les solutions polynomiales, et le paragraphe 4 un algorithme

pour en trouver les solutions hypergéométriques, dans le as où l'équation onsidérée

esthomogène.

2. L'anneau des suites

Soit

K

^unorpsdearatéristiquenulle.Onnote

K ^N

l'ensemblesdessuites

(a(n)) n ∈N

dont les termesappartiennent à

K

^{.Muni de l'addition et dela} multipliation termeà terme,

K ^N

^{est un anneau. C'est aussi un}

K

^{-espae vetoriel, et don une}

K

^-algèbre.

Cettealgèbre n'est pasintègre.

Ondénitl'opérateurshift

N

^{enposant,pourtoutesuite}

y

^de

K ^N

^,

N y(n) = y(n+1)

^.

L'opérateur

N

^{etses puissanes sont des}appliationslinéaires sur

K ^N

^.

Onappelle opérateur de réurrenelinéaire sur

K ^N

^{un opérateur delaforme}

L =

r

X

k =0

a _k N ^k ,

oùles

a k

^{sont desélémentsde}

K ^N

^.si

a 0

^et

a r

^{sontnonnuls, l'ordrede}

L

^estord

L = r

^.

Une équationde réurrenelinéaire dans

K ⁿ

^{est une équationde laforme}

Ly = f,

où

L

^{estunopérateurderéurrenelinéaireetoù}

f

^{estunélémentde}

K ^N

^.Si

f = 0

^,une

telleéquationestditehomogène.L'ensembledessolutionsde

Ly = 0

^{estunsous-espae}

vetoriel de

K ^N

^{etl'ensemble dessolutions de}

Ly = f

^{un sousespae anede}

K ^N

^.

Unparallèleavelathéoriedeséquationsdiérentiellespousseàespérerquel'espae

dessolutionsd'unetelleéquationestdedimension

r

^{.Iln'enestrien,ommelemontrent}

lesexemples suivants.

Exemple 1. Soient

a = (1, 0, 1, 0, . . . )

^,

b = (0, 1, 0, 1, . . . )

^et

L = aN + b

^{. Alors}

l'ensembledessolutions de

Ly = 0

^{estde dimension innie.}

Exemple 2. Simaintenant

L = aN − 1

^{,l'ensemble dessolutions de}

Ly = 0

^estréduit

à

{0}

^.

Exemple 3. Soient

p(n) = (n − 1)(n − 4)(n − 7)

^,

q(n) = n(n − 3)(n − 6)

^et

L = pN − q

^{. Alors l'ensemble des solutions de}

Ly = 0

^{est de dimension}

4

^{, engendré par}

(1, 0, 0, 0, . . . )

^,

(0, 0, 1, 4/5, 0, 0, . . . )

^,

(0, 0, 0, 0, 0, 1, 5/4, 0, 0, 0, . . . )

^etlasuite

y

^telleque

y(n) = (n − 1)(n − 4)(n − 7)

^.

On essaie d'établir un adre où la dimension de l'espae solution serait l'ordre de

l'équation de réurrene. Dans les deux premiers exemples donnés, la suite

a

^ontient

uneinnité de

0

^{.Onéliminerae as. Dansletroisièmeexemple, troisdesélémentsde}

labasedonnéen'ont qu'unnombrenidetermes nonnuls. Celasuggèred'identier de

tellessuites à

0

^.

Ainsi,on dénit

S(K)

^{ommelequotientde}

K ^N

^{par larelation} d'équivalene

∼

^sur

K ^N

^{dénie par}

a ∼ b

^{s'il existe}

n 0

^dans

N

tel que

a(n) = b(n)

^{pout tout}

n

^{supérieur à}

n 0

^{.Celarevient en faità poser}

S(K) = K ^N /J,

^où

J =

∞

[

k=0

Ker N ^k .

Grâeau théorème de fatorisation des appliations linéaires, on peutvoir qu'il existe

un unique automorphisme

E

^de

S(K)

^{tel que}

ϕN = Eϕ

^{, où}

ϕ

^{désigne la projetion}

anoniquede

K ^N

^dans

S(K)

^{.Par soui de}simpliation, on érira

N

^pour

E

^et

a

^{à la}

plaede salasse

a + J

^{,pour toute suite}

a

^de

K ^N

^.

Proposition2.1. Un élément nonnul de

S(K )

^{est inversible siet seulement s'iln'est}

pas un diviseur de

0

^{. Un tel élément est alors aussi appelé unitéde}

S(K)

^.

Onpeutmaintenant démontrerqueleséquationsderéurrenelinéairesur

S(K)

^ont

lapropriétéreherhée.

Théorème2.2. Soit

L = P r

k =0 a _k N ^k

^{unopérateurderéurrene linéaire d'ordre}

r

^sur

S(K)

^{. Si}

a 0

^et

a _r

^{sontdes unités de}

S(K)

^{, alors}

dim Ker L = r

^.

Preuve. Montrons d'abord que

dim Ker L 6 r

^{.Pour ela, on onsidère}

r + 1

^éléments

y 1 , . . . , y _r +1

^de

Ker L

^{.Onvamontrerqueesélémentssont}néessairementlinéairement dépendants. Comme

Ly i = 0

^{pour tout}

i

^{,alors il existe un entier}

n 0

^{tel que pour tout}

n > n 0

^,

r

X

k =0

a _k (n)y _i (n + k) = 0

pour tout

i

^.Soit

Y (n)

^{l'élément de}

K ^r+1

^{égal à}

(y 1 (n), . . . , y _r +1 (n))

^{pour tout}

n

^de

N

. Soient

L n

^{l'espae vetoriel engendré par}

Y (n), . . . , Y (n + r − 1)

^et

O n = (

(u 1 , . . . , u r+1 ) ∈ K ^{r +1} :

r+1

X

i=1

u i v i = 0, ∀(v 1 , . . . , v r+1 ) ∈ L n

)

.

Alors

O _n

^{estunsousespae vetoriel de}

K ^{r +1}

^{tel que}

1 6 dim O _n 6 r + 1

^{pour tout}

n

^.

Comme

a 0

^{est uneunité, ilexisteun entier}

M

^telque

a 0 (n) 6= 0

^{pour tout}

n

^supérieur

ouégal à

M

^.Soit

j = max{n 0 , M }

^{.Pour tout}

n

^{supérieurouégal à}

j

^,

y _i (n) = −

r

X

k=1

a _k (n)

a 0 (n) y _i (n + k)

pour tout

i

^{. Don, si}

n > j

^,

Y (n)

^{appartient à}

L _n +1

^{. Il suit que}

L _n ⊂ L _n +1

^{et que}

O n+1 ⊂ O n

^dèsque

n > j

^{.Ainsi, lasuite}

(O n ) n>j

^{est une suite} déroissanted'espaes vetoriels de dimensions nies et supérieures ou égales à

1

^{. On peut alors démontrer}

que l'intersetion de es espaes vetoriels est non triviale, e qui implique que les

y i

sont linéairement dépendants.

Montrons maintenant que

dim Ker L > r

^{.On va pour ela exhiberune famille de}

r

élémentslinéairement indépendantsde

Ker L

^.Comme

a 0

^et

a r

^{sontdesunités,ilexiste}

n 0

^dans

N

telque

a 0 (n)

^et

a _r (n)

^{sontnonnulspour tout}

n > n 0

^.Soit

v(0), . . . , v(r − 1)

unebasede

K ^r

^,où

v(j) = (v 1 (j), . . . , v r (j))

^pourtout

j

^dans

{0, . . . , r − 1}

^.Ondénit

y 1 , . . . , y _r

^dans

S(K)

^{en posant, pour tout}

i

^dans

{1, . . . , r}

^:

y _i (n 0 + j) = v _i (j)

^pour

tout

j

^dans

{0, . . . , r − 1}

^et

y _i (j) = −

r −1

X

k=0

a _k (j − r)

a _r (j − r) y _i (j − r + k),

^pour

j > n 0 + r.

Pour tout

n

^de

N

, on pose

Y (n) = (y 1 (n), . . . , y _r (n))

^,

L _n

^{l'espae vetoriel engendré}

par

Y (n), . . . , Y (n + r − 1)

^{, et}

O n = {u = (u 1 , . . . , u r ) ∈ K ^r : P r

i=1 u i w i = 0 ∀w = (w 1 , . . . , w _r ) ∈ L _n }

^{. Alors}

L _n

0

= K ^r

^{et don}

O _n

0

= {0}

^{. Or, omme} préédemment,

O n +1 ⊂ O n

^{pour tout}

n > n 0

^{.Onen déduit queles}

y i

^sont linéairement indépendants.

Dénition2.3. Unesuite

a

^de

S(K )

^estditepolynomialesur

K

^{s'ilexisteunpolynme}

p

^dans

K[x]

^{tel que}

a(n) = p(n)

^{pourpresque tout}

n

^de

N

('est-à-dire:l'ensemble des éléments

n

^de

N

tels que

a(n) 6= p(n)

^{estni). Elleest dite}rationnellesur

K

^s'ilexiste

unefontionrationnelle

r

^de

K(x)

^telleque

a(n) = r(n)

^{pour presquetout}

n

^de

N

.Elle est dite hypergéométrique sur

K

^{s'ilexiste dessuites}

p

^et

q

polynomialessur

K

^telles

que

pN a + qa = 0

^.

Toute suite polynomiale est rationnelle, ettoute suite rationnelle non nulle est hyper-

géométrique.Deplus, toute suite rationnellenon nulle estune unité.

Proposition2.4. Soient

a

^et

y

^{desélémentsde}

S(K)

^telsque

y 6= 0

^et

N y = ay

^.Alors

a

^et

y

^{sont des unités.}

3. Solutions polynomiales

Ceparagraphedonneunalgorithmequidonnetouteslessolutionspolynomialesd'une

équation

Ly = f

^àoeients polynomiales. C'est-à-dire :

L =

r

X

i=0

p i (n)N ⁱ ,

où les

p i

^{sont des suites} polynomiales sur

K

^{et où}

p 0

^et

p r

^{sont non nulles. Alors,}

pour que ette équation ait des solutions polynomiales, la suite

f

^{doit également être}

polynomiale. Onlesupposedon danslasuite du paragraphe.

Onpeutrésoudre e problème en trouvant d'abord une bornesupérieure

B

^{pour le}

degré de polynmessolutions de l'équation, puis en dérivant les polynmes solutions

quiont undegré inférieurà

B

^{parla méthode desoeients} indéterminées..

Pour obtenir

B

^{,on réérit}

L

^{en termesde}

∆ = N − 1

^.Onobtient

L =

r

X

j =0

q _j ∆ ^j ,

^où

q _j =

r

X

i = j

i j

p _i .

Soit

y = P d

k=0 a k n ^k

^(où

a d 6= 0

^{et où les}

a k

^{sont dans}

K

^{) une solution. On note}

k ^j

la"fatorielle tombante"

k ^j = k(k − 1) . . . (k − j + 1)

^{.Alorsleoeient dominant de}

q j ∆ ^j y(n)

^{est égalà d}

(q j )a d d ^j

^.Soit

b = max

06 j6r (deg q _j − j).

Alors

deg Ly(n) 6 d + b

^{. Si}

d + b < 0

^{, alors}

d 6 −b − 1

^{.Sinon, le oeient de}

n ^{d + b}

dans

Ly(n)

^est

a _d X

j

d

(q _j )x ^j ,

oùlasommeestprisesurl'ensemble

E

^desentiers

j

^telsque

0 6 j 6 r

^et

deg q _j − j = b

^.

Si

deg Ly(n) = d + b

^,alors

d + b = deg f

^{.Sinon,leoeient de}

n ^{d + b}

^{s'annule,et don}

d

^{estune raine dupolynme}

α(x) = X

i ∈E

cd(q _j )x ^j .

Onobtient don lerésultat suivant.

Proposition 3.1. Soit

y

^{est une solution} polynomiale del'équation

Ly = f

^{. Soit}

d 1

^la

plusgrande solutionentière del'équation

α(x) = 0

^{(sietteéquation n'apas desolution}

entière,

d 1 = −∞

^).Alors

deg y 6 max{deg f − b, −b − 1, d 1 }.

4. Solutions hypergéométriques

Soit

F

^{un orps de} aratéristique nulle et

K

^{une extension de}

F

^{. Étant donnée}

un opérateur de réurrenelinéaire

L

^àoeients polynomiaux sur

F

^{,on herhe les}

solutions del'équation

(1)

Ly = 0

qui sont hypergéométriques sur

K

^{. On va ii dérire une méthode pour les équations}

d'ordre

2

^{,qui segénéraliseauxordres}supérieurs. Nousutiliserons lethéorèmesuivant.

Théorème 4.1. Soit

r

^{une fontion} rationnelle non nulle sur

K

^{. Alors il existe des}

polynmes

a, b, c

^de

K[x]

^{tels que}

b

^et

c

^{sontunitaires et}

r(x) = a(x)

b(x)

c(x + 1) c(x) ,

où

(1) pgd

(a(x), b(x + h)) = 1

^{pour toutentier positif ou nul}

h

^,

(2) pgd

(a(x), c(x)) = 1

^,

(3) pgd

(b(x), c(x + 1)) = 1

^.

Ononsidèredon laréurrene

(2)

p(n)y(n + 2) + q(n)y(n + 1) + r(n)y(n) = 0.

Soit

y

^unesolutionhypergéométriquede(2).Alorsilexisteunesuite rationnelle

S

^telle

que

y(n + 1) = S(n)y(n)

^.Ensubstituant dans(2), onobtient

p(n)S(n + 1)S(n) + q(n)S(n) + r(n) = 0.

Onpeutérire

S(n) = z a(n) b(n)

c(n + 1) c(n) ,

où

a

^,

b

^et

c

^{sont unitaires et satisfont aux onditions (1), (2) et (3) du théorème 4.1.}

Alors

(3)

z ² p(n)a(n + 1)a(n)c(n + 2) + zq(n)b(n + 1)a(n)c(n + 1) +r(n)b(n + 1)b(n)c(n) = 0.

On peut alors démontrer que

a(n)

^divise

r(n)

^et

b(n + 1)

^divise

p(n)

^{. Cela laisse un}

ensemblenide andidatspour

a(n)

^et

b(n)

^{:lesfateursunitaires de}

r(n)

^et

p(n − 1)

^.

Onpeutdiviser(3) par

a(n)b(n + 1)

^{. Ilvient}

(4)

z ² p(n)

b(n + 1) a(n + 1)c(n + 2) + zq(n)c(n + 1) + r(n)

a(n) b(n)c(n) = 0.

Pour déterminer la valeur de

z

^{, on onsidère le oeient dominant du membre de}

gauhe de ette équation :

z

^{satisfait une équation de degré inférieure ou égale à}

2

^.

Ainsi,

a

^et

b

^{étant donnés, il y a au plus}

2

^{hoix pour}

z

^{. Pour un hoix donné de}

a, b, z

^{, on utilise} l'algorithme du paragraphe préédent pour déterminer les solutions polynomiales

c

^{de (4), s'il en existe. Si'est le as, et si}

c

^{est une telle solution, alors}

onendéduitune solutionhypergéométriquede(1). Ontrouveainsitoutesles solutions

hypergéométriques de ette équation.

Exemple 1.La solution généralede l'équation

(n − 1)y(n + 2) − (n ² + 3n − 2)y(n + 1) + 2n(n + 1)y(n) = 0.

estégale à

y(n) = C2 ⁿ + Dn!

^.

Exemple 2.Onpeutmontrer que

y(n) =

n

X

k=0

n k

2 n + k

k 2

satisfaitlaréurrene

(n + 2) ³ y(n + 2) − (2n + 3)(17n ² + 51n + 39)y(n + 1) + (n + 1) ³ y(n) = 0.

Grâeàl'algorithme préédent, onpeutmontrer que

y(n)

^{n'est pas}hypergéométrique.

Exemple 3.Soit

i(n)

^{le nombre} d'involutions surun ensemblede ardinal

n

^.Alors

i(n) = i(n − 1) + (n − 1)i(n − 2).

Plusgénéralement,soit

i r (n)

^lenombredepermutations surunensembledeardinal

r

quine ontient pasde yles delongueur stritement supérieureà

r

^.Alors

i _r (n) =

r

X

k=1

(n − 1) ^{k −1} i _r (n − k).

Pour

r > 2

^,leterme

i _r

^{n'est pas}hypergéométrique. Enpartiulier,

i(n) = X

k

n!

(n − 2k)!2 ^k k!

n'est pashypergéométrique.

Référenes.

• A = B

^{,M. Petkov}

ˇ

^{sek,H. S.Wilf,D.} Zeilberger.

•

Mathématiques onrètes, R.L.Graham, D.E. Knuth, O. Patashnik.