Analyse II, 2007-2008 Liste suppl. 2, FB, November 20, 2007(V1:02-11-06)
Analyse II
Liste suppl´ementaire num´ero 2 (listes 4-8)1. (a) Soit γ le param´etrage classique injectif (sauf extr´emit´es) de la circonf´erence centr´ee en i, de rayon 2 et orient´ee “aire `a gauche”. En justifiant vos d´emarches, d´eterminer la valeur de l’int´egrale curviligne
Z
γ
1
¯ zdz.
(b) Soit γ le param´etrage classique injectif (sauf extr´emit´es) de la circonf´erence centr´ee en 0, de rayon 1 et orient´ee “aire `a gauche”. En justifiant vos d´emarches, d´eterminer la valeur de l’int´egrale curviligne
Z
γ
ez−cosz z4 dz.
2. La proposition suivante est-elle vraie ou fausse? Pourquoi?
Siz0 est une singularit´e isol´ee de la fonction holomorphef et si le r´esidu def enz0 est nul, alors f se prolonge en une fonction holomorphe en z0
3. (a) On donne
f(z) = z3
(z+i)2(z2+z+ 1). O`u cette fonction est-elle holomorphe?
Quels sont ses z´eros? Quelles sont leurs multiplicit´es respectives?
Quelles sont ses singularit´es isol´ees? De quels types sont-elles?
D´eterminer le r´esidu en chacune des singularit´es isol´ees, en fonction de celles-ci.
(b) On donne
f(z) = z2 sin3z. O`u cette fonction est-elle holomorphe?
Quels sont ses z´eros? Quelles sont leurs multiplicit´es respectives?
Quelles sont ses singularit´es isol´ees? De quels types sont-elles?
D´eterminer le r´esidu en chacune des singularit´es isol´ees.
4. D´eterminer le d´eveloppement en s´erie de Laurent en 0 (resp. en −i) pourf, en sp´ecifiant chaque fois o`u la convergence a lieu.
f(z) = z3 (z+i)2.
5. Si la fonction donn´ee est int´egrable sur [0,+∞[, calculer l’int´egrale suivante par “m´ethode de variables complexes”
Z +∞
0
x2 x4+x2+ 1dx
6. Soit un ouvert Ω deCet soitz0∈Ω. Sif est une fonction holomorphe dans Ω\ {z0}, on sait que (a) La fonctionf se prolonge en une fonction holomorphe enz0si et seulement si limz→z0f(z)∈
C.
(b) Le complexe z0 est une singularit´e essentielle pour f si et seulement si limz→z0f(z) n’existe pas.
(c) Le complexez0 est un pˆole d’ordre fini non nul pourf si et seulement si limz→z0f(z) =∞ Parmi les propri´et´es (a), (b), (c) ci-dessus, quelles sont celles qui subsistent si, dans les limites, on remplacef(z) par (z−z0)f(z)? Pourquoi?
FB, November 20, 2007(V1:02-11-06)
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