TRAVAIL ÉNERGIE PUISSANCE DU SOLIDE AU SYSTEME POLY-ARTICULE

TRAVAIL ÉNERGIE PUISSANCE

DU SOLIDE AU SYSTEME POLY-ARTICULE

CH IV P. MORETTO

 Pour des mouvements linéaires, le travail d’une force est égal au produit scalaire de cette force par le déplacement :

 F est la force

 d est le déplacement.

  est l’angle entre la force et la direction du déplacement Travail mécanique d’un solide en déplacement linéaire

d F

W

d F W

).

cos(

. .





  

Soit la force « F », la distance « d » et «  » l’angle entre la force et la direction du déplacement,

Le travail de la force F correspond au produit de la

composante « efficace » de cette force (F.cos( )) par la distance « d » parcourue. Il s’exprime en N.m

F 

F.cos(  )

Direction du déplacement

Travail mécanique d’un solide en déplacement linéaire

d

W F d

d F W

).

cos(

. .





  

Si F.cos() est dans le sens du déplacement, le travail de la force F est positif, il est qualifié de

« Moteur ».

Caractéristiques du travail d’une force

Si F.cos() est dans le sens opposé au déplacement, le travail de la force F est négatif , il est dit « Résistant »

F 

F.cos() d

F 

F.cos()

d

0 _x^

y

0 _x^

y

Exemples :



Pour un déplacement horizontal L :



Quel est le travail de F ?



Celui de P ?





































0 ) cos(

_ _

0 ).

cos(

.

0 ) cos(

_ _

2 / 3

. ).

cos(

. _

'

1 ) cos(

_ _

0 .

















car L

P W

et

L F L

F W

où d

et L F W

P

F F







Travail : Cas général …..

La force n’est pas constante

La trajectoire n’est pas rectiligne Le travail est alors la somme de

travaux élémentaires considérés sur des déplacements plus petits sur lesquels on fait l’approximation

d’une force constante F_i sur un trajet rectiligne l_i

Sur la trajectoire AB, il est alors :

 

























 





 B

A i i

i i

i n

i i

n

i

l d F l

F Alors

l si

l F

W

 

 



 

. .

_

0 lim

_

.

1 1 1

Travail d’un solide en rotation

OM F

M

F M

O F

M

F

. sin( ).

)

0

(

/







  



Rappel : Moment de force



F

0 M

F.sin()

F.sin() est la composante de

force « F » efficace à la mise en rotation de M autour de « 0 ».

Travail du Moment de force



0 M

F.sin() F.sin() est la composante de

force « F » efficace à la mise en rotation de M autour de « 0 ».

M’

Arc (MM’) est la distance

parcourue par M et MM’=OM.

(avec  l’angle MoM’)











).

(

.

. ).

sin(

.

' ).

sin(

.

/

F

M W

M O F

W

OM F

W

MM F

W

o

















Travail d’un solide en rotation

F



Travail d’un solide en rotation



0 M M’

Travail du Moment de force



).

/

( F M

W 



F

F M

O F

M 

 



 )

/

(

 est l’angle parcouru pendant la rotation Moment de force

: )

/

( F

M 

Lorsque le travail du Moment de force est positif, il est qualifié de

« Moteur ».

Caractéristiques du travail d’un Moment de Force

Lorsque le travail du Moment de force est négatif , il est dit

« Résistant »

 M 0

F.sin()

M’ F



 M 0

M’

+

Travail du Poids Energie Potentielle

Travail d’une Force et d’un Moment de force Energie Cinétique

Energie Mécanique Totale

Travail et Energie

Travail du poids et Energie potentielle



Le poids est une force qui travaille à la

descente de la masse sur une trajectoire

verticale (donc =0)



L’énergie potentielle

dépend de « l’altitude » de la masse.



Le travail du poids

explique une variation d’énergie potentielle.

Pot Potfinal

Pot P

final init

final init

P P P

E E

E W

h g m h

g m h

h g m W

h g m W

h g

m h g m h P W

vertical t

Déplacemen h

et g m P Soit



























int

. . .

. )

.(

. . .

).

cos(

. . .

. .

_ _

_ _ . _

 

 



 

0 _x^

y

h_init

h_final

h mg

Travail du poids et système poly-articulé

 



 _i

i

i i

m M

M avec G O m G

O ¹ _ __





0 _x^

y

M, G m_i, G_i

m_i, G_i

m_i, G_i



























i

i i

i

i i i

i i

G O g m G

O m g

G O g M

G O m G

O M

où d

1 1

1

. . .

. . . '

 

 

 





Le travail du poids au centre de gravité (Cg) du sujet équivaut à la somme du travail du poids sur chacun des segments.

La variation d’Energie potentielle sera donc étudiée au Centre de gravité du sujet auquel la masse totale est rassemblée.

G: Centre de gravité du sujet.

Travail du poids et Energie potentielle

Pot Potfinal

Pot P

final init

final init

P

final init

E E

E W

h g m h

g m h

h g m W

vertical t

Déplacemen h

h h et g m P Soit























int

. . .

. ) .(

.

_ _

) (

_ _ .

_  

0 _x^

y

h_init

h_final

h

M, G Le travail du poids explique la variation d’Energie Potentielle

du sujet.

Le travail du poids explique la variation d’Energie Potentielle du sujet.

Le poids est une force « conservative » car il est possible de récupérer l'énergie dépensée.

Ex : Si le Cg de l’athlète monte, il gagne en énergie potentielle et il suffit qu’il redescende pour restituer cette énergie accumulée lors de la montée.

Travail du Poids Energie Potentielle

Travail d’une Force et d’un Moment de force Energie Cinétique

Energie Mécanique Totale

Travail et Energie

Travail et énergie cinétique



Translation :



Le travail de la force

« F » sur la distance

« l » fait varier

l’énergie cinétique de translation.

Ec Ec

Ec W

V m V

m W

dv v m W

dl dl v dv m dt dl

m dv dl

F W

dl v dv dt

dl dl dv dt

et dv

dt m dv a

m F

Initiale Finale

Initiale Finale





































² . 2.

² 1 . 2. 1

. .

. .

. . .

. .

_

. .

1 2

2

1

2

1 2

1 2

1

F

l

0 _x^

y

m

Travail et énergie cinétique



Rotation:



Le travail du Moment de force « Mt » sur l’arc MM’ fait varier l’énergie cinétique angulaire.

 M 0

M’ F

Angulaire Initiale

Ang Finale

Ang

Initiale Finale

t t

Ec Ec

Ec W

W I W

I W

dw w I W

d d w dw I dt d

I dw d

M W

d w dw dt

d d

dw dt

et dw

dt I dw I

M





































_ _

1 2

2

1

2

1 2

1 2

1

² . 2.

² 1 .

2. 1

. .

. .

. .

. .

. .

_

. .

 











^

Energie cinétique … Système poly-articulé

m_i : Masses des segments; M: Masse totale G_i : Centre de gravité des segments

G : Centre de gravité du sujet; V, vitesse linéaire, w, vitesse angulaire, R*, Référentiel centré en G et R, Référentiel externe

3 étapes

3) Translations du Cg dans référentiel externe R R

z x

y

R*

z x

y

² 2 .

1

/

/R M VG R

Ec 

* /

*

/ . . ²

2 1

R Gi i

R m V

Ec ^



2) Translations des segments dans R*



 _{i i}

R I

Ec . ²

2 1

*

/



1) Rotations des segments dans R*

Energie cinétique

d’un Système Poly-articulé

Ext Int

Int

Totale Ec Ec Ec

Ec  ₁  ₂ 

SM^t (Fext)



 _{i i}

R I

Ec . ²

2 1

*

/ 

* /

*

/ . . ²

2 1

R Gi i

R m V

Ec ^



R G

R M V

Ec_/ . ² _/ 2

 1

Energies cinétiques Internes

Energie cinétique Externe

Théorème de l’Energie Cinétique

Le théorème de l’énergie cinétique énonce :

Fext F

Ext Int

Int

Ec Ec W W

Ec

Ec      

 (

)

La variation d’Energie Cinétique est due à la somme des travaux des Forces Externes et des travaux des Forces Internes.

Travail du Poids Energie Potentielle

Travail d’une Force et d’un Moment de force Energie Cinétique

Energie Mécanique Totale

Travail et Energie

Energie Mécanique « Totale » d’un Système Poly-articulé

Pot Ext

Int Int

Totale Ec Ec Ec E

E  ( ₁  ₂  ) 

SM^t (Fext)



 _{i i}

R I

Ec . ²

2 1

*

/ 

* /

*

/ . . ²

2 1

R Gi i

R m V

Ec ^



R G

R M V

Ec_/ . ² _/ 2

 1

R G R

Pot M g h

E _/  . . _/

Energie Cinétique

Energie Potentielle

Energie Mécanique Totale*

*: En l’absence de force de frictions, liaisons et de caractéristiques élastiques.

Théorème de Conservation

de l’Energie Mécanique

Le théorème de conservation de l’énergie mécanique (Em) énonce :

te Cons

Ep Ec

Ec Ec

Em







  tan

En l’absence de forces de frictions et de liaisons (non conservatives), l’Energie Mécanique Totale est constante.

0 )

(



  





 Em

Ec

Ec

Ec

Ep

Soit encore que la variation d’Em est nulle:

Exemple de conservation

de l’Energie Mécanique

E_Pet E_Cen phase opposée E_C

E_P

(Cavagna et al., 1977; Dickinson et al., 2000; Lee and Farley, 1998)

Les forces de liaisons articulaires et de frictions sont négligées.

Les énergies cinétiques et potentielle se compensent et permettent au sujet une économie non négligeable qui rend la marche peu coûteuse.

En réalité, le rendement est d’environ 70% de l’énergie mécanique conservée.

Les 30% perdus sont liés au travail de forces non conservatives (Liaisons et frictions entrainent la dissipation d’Energie en chaleur ….. par exemple).

ves Conservati Non

F

Totale W

Em  _{. _}



 0

Em_Totale

Travail, Energie et Puissance

la puissance est la quantité d'énergie par unité de temps fournie par un système.

La puissance correspond donc à un débit d'énergie : deux systèmes de puissances différentes pourront fournir le même travail (la même énergie), mais le système le plus puissant sera le plus rapide.

Travail et Puissance (Translation)



La Puissance (P) correspond à la quantité d’énergie (E) ou au travail (W) développé par unité de temps (t)



La Puissance correspond également au produit scalaire de la Force (F) et de la Vitesse (v).

v t F

F d t

d P F

où D

d F W Or

t P W

. . .

'

. _











 

t W t

P  E 



Travail et Puissance ^(Rotation)



En rotation, la Puissance (P) correspond à la quantité de travail (W) développée par unité de temps (t)



La Puissance correspond également au produit du Moment de Force (Mt) et de la Vitesse angulaire (w).

w t M

t M P M

où D

M W Or

t P W

t t

t

t

. . .

'

. _



 



















t

P  W P  M ^t.w

Puissance de l’athlète (Poly-articulé)

D’après le théorème de l’énergie cinétique :

t W W

t

Ec Ec

Ec t

Ec



 







 



 (

)



 _{i i}

R I

Ec . ²

2 1

*

/ 

* /

*

/ . . ²

2 1

R Gi i

R m V

Ec ^



Un athlète Puissant développe une quantité d’énergie importante en peu de temps.

Le travail des forces internes (muscles…) et externes (réaction…) doit être développé en un temps le plus bref possible.

ATTENTION :



un athlète explosif est un athlète qui finit en morceaux éparpillés sur le terrain.



Ce terme n’a pas de signification dans le domaine de l’analyse du mouvement et de la biomécanique



Par contre vous pouvez trouver des athlètes forts et

rapides, ils sont alors PUISSANTS.

Les grandeurs physiques

, s^-1 , kg.m.s^-2

, kg.m².s^-3