EPFL 31 mai 2010 Algèbre linéaire
1ère année 2009-2010
Série 27
Dans cette série, le symbole F désigne soitR, soit C.
Exercice 1. On se place dansE =C4 muni de sa base canoniqueB= (e1, e2, e3, e4). On désigne par j ∈L(E)l’opérateur dont la matrice dans B est la matrice suivante
J =
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0
∈Mat(4,4;C).
1. Déterminer l’image de B par j, j2, j3, etj4. En déduire J2, J3 et J4. 2. Déterminer un polynôme annulateur non nul de J.
3. Montrer que si P ∈C[X] avecdeg(P)≤3 vérifieP(J) = 0, alorsP = 0.
4. En déduire le polynôme minimal de J, c’est-à-dire le polynôme unitaire de degré minimal an- nulantJ.
5. Montrer que J est diagonalisable et déterminer les valeurs propres de J.
Exercice 2. Trouver T ∈L(C4) tel que 1. cT(z) =qT(z) =z(z−1)2(z−3);
2. cT(z) =z(z−1)2(z−3)etqT(z) =z(z−1)(z−3).
Exercice 3. 1. SoitV unF-espace vectoriel de dimensionn >0. Montrer qu’il n’existe pas d’opé- rateursS, T ∈L(V)tels que
S◦T −T ◦S = IdV .
2. Soient n ∈N∗ etA, B dans Mat(n, n;F). Montrer que si pour toute matrice X deMat(n, n;F) on a Tr(AX) = Tr(BX), alors A=B.
3. Supposons que V est muni d’un produit scalaire et que v, w ∈ V. Soit T ∈ L(V) défini par T(u) = hu, viw. Calculer la trace de T.
4. Trouver un R-espace vectoriel V etT ∈L(V)tels que Tr(T2)<0.
5. Soient V un R-espace vectoriel et T ∈L(V). Montrer que si V a une base de vecteurs propres deT, alors Tr(T2)≥0.
Exercice 4. Supposons que T ∈L(V) est tel que T2 =−IdV.
1. Donner des exemples de telles applications dans le cas dim(V) = 2 ou 4.
2. Montrer que dans le cas où V est un R-espace vectoriel, de telles applications existent si et seulement si dim(V) est pair.
Exercice 5. Soit V unC-espace vectoriel et T ∈L(V). Montrer que 1. det IdV = 1,
2. detT 6= 0 si et seulement si T est inversible,
3. si T est inversible, alors detT−1 = (detT)−1, 4. det(αT) =αndetT.
5. On admet quedet(A·B) = detA·detB pourA, B ∈Mat(n, n;F)(voir le livre de S. Axler pour la preuve). Montrer quedet(T1◦T2) = detT1·detT2 pour tout T1, T2 ∈L(V).
Exercice 6. La forme de Jordan.
On considère l’application T ∈L(F3) ayant la matrice
A=
0 −2 2
−3 −1 −6
1 1 1
dans la base canonique deF3.
1. Trouver Spec(T)et les espaces propres généralisés.
2. On a une valeur propre λ1 avecdimEλ1 = 1, et une valeur propreλ2 avecdimEλ2 = 2. Calculer ker(T|Eλi −λiIdEλi) pouri= 1,2. Trouver une base Bλ1 = (u1) deEλ1.
3. Montrer que si v ∈ Eλ2 \Vλ2, alors T(v)−λ2v ∈ Vλ2. Trouver une base Bλ2 = (u2, u3) de Eλ2 telle queu3 ∈Eλ2 \Vλ2 et u2 =T(u3)−λ2u3.
4. Soit B= (u1, u2, u3). Donner J := [T]B et trouver la matrice B ∈Mat(3;F) de changement de base telle que J =B−1AB.
