Angles orientés-Trigonométrie
I- Repérage sur le cercle trigonométrique
1) Le cercle trigonométrique
Définition :
Lecercle trigonométriqueest le cercle de rayon 1 orienté de telle sorte que le sens direct est celui du sens inverse des aiguilles d’une montre
+
1 I J
O
Remarque :
On peut donner aux sens plusieurs dénominations :
• Sens direct : sens positif, sens trigonométrique, sens inverse des aiguilles d’une montre.
• Sens indirect : sens négatif, sens horaire.
2) Correspondance entre les nombres réels et les points du cercle
Définition :
Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O,A,B) on noteC le cercle trigonométrique. On matérialise la droite des réels par une ficelle tendue en plaçant le zéro sur le point A et les nombres positifs "vers le haut".
Soitt un réel.
• Sit>0, on enroule la ficelle sur le cercle dans le sens positif (quitte à faire plusieurs tours) ett vient se positionner sur un point M du cercle.
• Sit60, on enroule la ficelle dans le sens négatif ett vient aussi se positionner sur un point M du cercle.
O +
A B
A’
B’
bbbb
O
b 1
b
2
b
3
bπ
b4
b5
b6 b
2π
b
2π+ 1
b b b b b b bb
b
b
1
b
2
b 3
bπ
b4
b5
b6
b2π
Exemple 1 :
Déterminer les points du cercle associés aux nombres suivants :
Nombre réelt 0 2π π 3π 4π π2 3π2 −2π −π -π2 −3π2 PointMassocié
Remarque :
II- Angles orientés
1) Mesure d’un angle orienté
O +
A
Définition :
Soit M un point du cercle trigonométrique. Sit est un nombre réel associé à M, on dit quetest unemesure en radiande l’angle orienté (# »
OA,# » OM).
Remarque :
2) Le radian
Définition :
Le radian est, comme le degré, une unité de mesure d’angles définie de la façon suivante :
Si A et M sont deux points d’un cercle trigonométrique de centre O la mesure en radian de l’angleAOM est la\ longeur de l’arcAM
A M
α O
Remarque :
• Il y a proportionnalité entre la mesure en degrés et la mesure en radians : 180 degrés =πradians.
Exemple 2 :
Remplir le tableau de correspondance suivant :
PointM A C D E B A′ B′ A
Mesure de(# » OA,# »
OM)en degrés 0° 30° 45° 60°
Mesure de(# » OA,# »
OM)en radians Remarque :
O ~i
~j +
A B
A’
B’
C D E
Exemple 3 :
1) Dans le repère orthonormé ci-contre, construire avec le compas et la règle uniquement les points du tableau pré- cédent.
2) Répéter la construction dans les trois autres quarts de cercle.
3) Placer les points du tableau suivant :
PointM F G H I J K
Mesure de(# » OA,# »
OM) 3π4 2π3 −π3 −π6 −5π6 7π4 4) Donner des réels correspondant aux points restants.
O A
B
3) Mesure principale
Parmi toutes ces mesures celle qui correspond au chemin le plus court pour aller de A vers M est toujours comprise entre−πetπ.
Définition :
Une seule des mesures de l’angle orienté (# » OA,# »
OM) appartient à ]−π;π], on l’appellemesure principale de (# »
OA,# » OM).
Exemple 4 :
Déterminer la mesure principale d’un angle ayant pour mesure 514π.
De même pour−47π3 .
4) Angle orienté de deux vecteurs non nuls a) Définition
Soit u#»et #»v deux vecteurs non nuls du plan muni d’un repère orthonormé (O,I,J).
b
O I
J
b
M
b N
U V
b
b
~v
~ u
t s
s-t
Soit U et V les points du plan tels que # »
OU = #»u et # »
OV = #»v. Les demi-droites [OU) et [OV) coupent le cercle trigonométriqueC en deux points M et N.
Soittune mesure de (# » OI,# »
OM) etsune mesure de (# » OI,# »
ON) alors on dit que l’angle orienté (#»u ,#»v) a pour mesure s−t.
(#»u ,#»v) = (# » OM,# »
ON) =s−t [2π]
b) Propriété des angles orientés
Si#»u et#»v sont deux vecteurs non nuls, l’angle (#»u ; #»v) permet de traduire leur colinéarité car, d’après la définition des mesures d’un angle orienté :
(#»u ; #»u) = 0 (mod 2π) et (#»u ; −#»u) = (−#»u ; #»u) =π (mod 2π).
On en tire le théorème suivant :
Théorème (Colinéarité de vecteurs) :
#»u et#»v étant deux vecteurs non nuls,
• #»u et#»v sont colinéaires et de même sens si, et seulement si, (#»u ,#»v) = 0 (mod 2π).
• #»u et#»v sont colinéaires et de sens contraires si, et seulement si, (#»u ,#»v) =π (mod 2π).
• #»u et#»v sont colinéaires si, et seulement si, (#»u ,#»v) = 0 (modπ)
−
→u
−
→v
−
→u
−
→v π
Colinéarité de vecteurs
Théorème (Relation deChasles) :
#»u, #»v etw#»étant trois vecteurs non nuls,
(#»u ; w) = (#» #»u ; #»v) + (#»v ; w)#» (mod 2π).
−
→u
−
→v
−
→w
Exemple de la relation de Chasles
Propriété :
Pour tous vecteurs non nuls #»u et#»v, on a
• (#»u ; #»v) =−(#»v ; #»u) (mod 2π) −→u
−
→v
• (#»u ; −#»v) = (#»u ; #»v) +π (mod 2π)
−
→u
−
→v
−−→ v
• (−#»u ; #»v) = (#»u ; #»v) +π (mod 2π) −−→u −→u
−
→v
• (−#»u ; −#»v) = (#»u ; #»v) (mod 2π)
−
→u
−−→ u
−
→v
−−→ v
III- trigonométrie
1) Fonctions cosinus et sinus
O +
A B
A’
B’
M
Définition :
Soitxun réel et M le point correspondant sur le cercle trigono- métrique.
On appellecosinusdexet on note cos (x) On appellesinusdexet on note sin(x)
Remarque :
On note parfois cosx à la place de cos(x) et sinx à la place de sin(x).
2) Propriétés
Propriété :
• Pour tout réelx, on a ≤cosx≤ et ≤sinx≤
• Pour tout réelx, on a (cosx)2+ (sinx)2=
3) Valeurs remarquables
O
A B
A’
B’
C D E
Point M A C D E B A′ B′ A
t cost sint Remarque :
4) Périodicité
Propriété :
Pourx∈R, cos(x+ 2π) = et sin(x+ 2π) = On dit que les fonctions sinus et cosinus sont
5) Parité et autres symétries
Propriété : Pour tout réelx :
cos(−x) = sin(−x) =
La fonction cosinus est La fonction sinus est O
Propriété : Pour tout réelx :
cos(π−x) = sin(π−x) =
cos(π+x) = sin(π+x) = O
Propriété : Pour tout réelx :
cosπ 2−x
= sinπ
2−x
=
cosπ 2+x
= sinπ
2+x
= O
Exemple 5 :
1) A l’aide du cercle trigonométrique, compléter le tableau suivant :
x −π
3 3π
4 5π
6 −π
4 −2π 3 −π
6 7π
6 2π
3 cosx
sinx
2) Déterminer toutes les valeurs possibles dextel que : cosx= −√
2
2 etsinx= −√ 2 2 .
O
6) Résumé
Retenez les valeurs particulières suivantes
0
1
− 2 1 2
π
π 3 2π
3
−
2π
3 −
π 3 p3
2
−
p3 2
π 6 π
2
5π 6
−
5π 6
−
π 2
−
π 6 p3
− 2 p3
2
1 2
−
1 2
π 4 π
2
3π 4
π
−
3π 4
−
π 2
−
π 4 p2
− 2 p2
2
p2 2
−
p2 2
7) Cosinus et sinus d’un angle orienté
Définition :
Soit #»u et#»v deux vecteurs non nuls du plan.
Le cosinus (respectivement le sinus) de l’angle orienté de vecteurs (#»u;#»v) est le cosinus (respectivement le sinus) de l’une quelconque de ses mesures. On note cos(#»u;#»v) et sin(#»u;#»v).
8) Résolution d’équations, d’inéquations a) Exemples
Résoudre les équations suivantes dans]−π,π]puis dansR. 1) cosx=−1
2
O
2) sinx=−
√3 2
O
Résoudre les inéquations suivantes dans ]−π,π].
3) sinx >1 2
O
4) cosx≤
√2 2
O
b) Équations trigonométriques
Propriété :
Soitαun réel,alors : cosx= cosα⇐⇒
O
sinx= sinα⇐⇒
O
Exemple 6 :
Résoudre l’équationcos(2x+π
3) = cosx, dansRpuis dans]−π,π].
Représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.
IV- Repérage polaire
Propriété :
Le plan est muni d’un repère orthonormal (O,I,J).
Tout point M est repéré de façon unique par ses coordonnées cartésiennes (x;y).
Tout point M, (M,O) est aussi repéré de façon unique par ses coordonnées polaires(ρ;θ) :
ρ= OM etθ= (−−→
OI,−−−→
OM )
On dit queρest lerayon polairedu point M etθl’un de sesangles polaires.
On a alors :
ρ= x= y=
O
Exemple 7 :
1) Placer les pointsA,B,CetDdonnés par leurs coordonnées polaires puis déterminer leurs coordonnées cartésiennes : A(2,π
4),B(3,π),C(4,−2π
3 ),D(4,5π 6 ).
2) Placer les points E,F,GetHdonnés par leurs coordonnées cartésiennes et déterminer leurs coordonnées polaires : E(0;−2),F(3√
3; 3),G(5,−5),H(2,2√
3). 1
2 3 4 5 6
−1
−2
−3
−4
−5
1 2 3 4 5 6
−1
−2
−3
−4
−5
