Fonctions trigonométriques
Classe de 1ère
I - Cercle trigonométrique et angles
Définitions :
On appelle cercle trigonométriquele cercle de centre O et de rayon 1 orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Ce sens est appelésens direct ousens trigonométrique.
0 1
1 +
−
En disposant la droite des réels de manière tangente au cercle tels que l’origine de la droite coïncide avec le point de tangence, il est possible d’enrouler cette droite autour du cercle trigonométrique.
Le périmètre du cercle mesurant 2π, la droite s’enroule de la manière suivante :
0
π 2
π
−π2
−π +
−
0 0
π 2
π
3π 2
2π
−π2
−3π2
−π −2π +
−
Il est alors possible de définir une nouvelle unité d’angle donc les correspondances en degrés sont résumées dans le tableau suivant :
Mesures en degrés 30 45 60 90 180 360 Mesures en radians π6 π4 π3 π2 π 2π
II - Sinus et cosinus
Définitions :
Soit M un point du cercle trigonométrique et x la mesure de l’angle I OM en radians.
On appelle cosinus dex l’abscisse du point M etsinus de x l’ordonnée du point M
I O
M x sinx
cosx
Remarque : Ces définitions généralisent les définitions du cosinus et du sinus déjà vues en troisième pour les angles aigus.
x O
M
cosx A
sinx 1
cosx = O A
OM =O A sinx = AM
OM = AM
Propriétés : Les propriétés suivantes se "déduisent" facilement du cercle trigonométrique :
• cos2x+sin2x =1
• −1≤cosx ≤1 et −1≤sinx ≤1
• cos(x+2π)=cosx et sin(x+2π)=sinx
Remarque : On peut alors noter les valeurs remarquables du cosinus et du sinus pour certains angles :
Mesures en degrés 0 30 45 60 90 Mesures en radians 0 π6 π4 π3 π2
Cosinus 1
p3 2
p2 2
1
2 0
Sinus 0 12
p2 2
p3
2 1
III - Les fonctions cosinus et sinus
À partir des définitions du sinus et du cosinus d’un angle, il est possible de définir les fonctions associées.
Définition :
La fonctioncosinus, notéecos, est la fonction définie telle que : cos : IR → IR
x 7−→ cos(x)
Pour cette fonction, on obtient, sur [−π;π] le tableau de variation et la représentation graphique suivants :
x
cos(x)
−π 0 +π
-1 -1
1 1
-1 -1
−π2 0
π 2
0 π
4
π
2 3π 4
−π4 π
−π2
−34π
−π 0
1
Définition :
La fonctionsinus, notéesi n, est la fonction définie telle que : si n : IR → IR
x 7−→ si n(x)
Pour cette fonction, on obtient, sur [−π;π] le tableau de variation et la représentation graphique suivants :
x
si n(x)
−π −π2 π2 +π 0
0
-1 -1
1 1
0 0 0
0 π
4
π
2 3π
4
−π4 π
−π2
−3π4
−π 0
1
Propriétés :
• Les fonctions cosinus et sinus sont des fonctions périodiques de période 2π, c’est-à-dire que : cos(x +2π)=cos(x) et si n(x+2π)=si n(x)
• La fonction cosinus est une fonction paire
• La fonction sinus est une fonction impaire
Preuve : Ces propriétés se déduisent directement des propriétés du sinus et du cosinus d’un angle vues précédemment.
