Nom :
Classe : TES
Devoir surveillé n°2
le 16/11/2016
Note :
… / 20 La notation du devoir prendra en compte les efforts de soin, de présentation et de rédaction.
Une fois que vous aurez fini ce devoir vous complèterez la grille d’autoévaluation suivante.
Avis de l’élève Avis du professeur
Je sais : Oui Non Oui Non
Exercice 1 Justifier une égalité.
Justifier qu'une fonction est continue.
Dériver une fonction.
Déterminer les variations d'une fonction.
Justifier qu'une équation admet une solution / Encadrer cette solution.
Etudier la convexité d'une fonction.
Justifier qu'une courbe admet un point d'inflexion / Déterminer ses coordonnées.
Déterminer l'équation d'une tangente.
Justifier la position relative d'une courbe et d'une tangente.
Exercice 2 Calculer / Interpréter des résultats.
Démontrer qu'une suite est géométrique / Déterminer son 1er terme.
Exprimer le terme général d'une suite en fonction de . Résoudre un problème concret en justifiant la réponse.
Compléter un algorithme / Déterminer et interpréter le résultat affiché.
Exercice 1 : … / 10
Soit la fonction définie sur [1 ; 10] par = -1 + – .
On note c sa courbe représentative. Un logiciel de calcul formel a permis d'obtenir les résultats suivants.
1. a) Justifier par le calcul l'égalité : =
b) Justifier que est continue sur [1 ; 10].
2. a) Retrouver par le calcul le résultat : =
b) Dresser le tableau des variations de sur [1 ; 10].
3. a) Justifier que l'équation = -2 admet une unique solution sur [1 ; 10].
b) Déterminer un encadrement de à 10 près.
4. a) Etudier la convexité de .
b) Justifier que c admet un point d'inflexion A puis déterminer ses coordonnées.
5. a) Déterminer l'équation de la tangente T à c au point B d'abscisse 2.
b) Justifier la position relative de c et de T.
f f(x) 10x 16x2
f(x) (-x+8)(xx2 ¡2)
f
f0(x) -10x+32x3 f f(x)
®
® -3 f
n
Exercice 2 : Téléphonie mobile. … / 10
Un opérateur de téléphonie mobile constate que, chaque année, il perd 8 % de ses précédents abonnés et que, par ailleurs, il gagne 3 millions de nouveaux abonnés. En 2013, le nombre d'abonnés était de 20 millions.
On s'intéresse au nombre d'abonnés, en millions, pour l'année 2013 + .
En supposant que cette évolution se poursuit de la même façon, la situation peut être modélisée par la suite ( ) définie pour tout entier naturel par :
Le terme donne une estimation du nombre d'abonnés pour l'année 2013 + .
1. a) En utilisant cette modélisation, l'opérateur décide d'arrondir les résultats à 10 . A quoi correspond ce choix d'arrondi ?
b) Déterminer le nombre d'abonnés en 2014 et en 2015.
On définit la suite ( ) définie pour tout entier naturel par : = .
2. a) Démontrer que ( ) est une suite géométrique de raison 0,92. Préciser son 1er terme.
b) Exprimer en fonction de . En déduire que, pour tout entier naturel : = -
c) Déterminer le nombre d'abonnés en 2020.
3. L'opérateur peut-il espérer dépasser un jour 30 millions d'abonnés ? Justifier.
Compte tenu des investissements, l'opérateur considère qu'il réalisera des bénéfices lorsque le nombre d'abonnés dépassera 25 millions.
4. a) Compléter l'algorithme afin de déterminer le nombre d'années nécessaires à partir de 2013 pour que l'opérateur fasse des bénéfices.
Variables : N est un entier naturel U est un réel
Traitement : Affecter à N la valeur 0 Affecter à U la valeur 20 Tant que …
Affecter à N la valeur … Affecter à U la valeur … Fin tant que
Sortie : Afficher …
b) En quelle année, l'opérateur réalisera-t-il des bénéfices pour la première fois ?
c) Ecris un algorithme qui permet d'afficher les estimations du nombre d'abonnés chaque année, de 2013 jusqu'à l'année 2013 + K, K étant un entier saisi en entrée de l'algorithme.
n n
un ½
u0 = 20
un+1= 0,92un+ 3
un n
-3
n
vn vn un¡37,5
vn
vn n n
un 17,5£0,92n+ 37,5
Correction du DS n°2 Exercice 1 :
Soit la fonction définie sur [1 ; 10] par = -1 + – .
On note c sa courbe représentative. Un logiciel de calcul formel a permis d'obtenir les résultats suivants.
1. a)
A = = = + –
A = -1 + – = b) =
est une fonction rationnelle définie et dérivable pour tout réel ≠ 0 et 0 ∉ [1 ; 10] d onc est continue sur [1 ; 10].
2. a) ∀ ∈ [1 ; 10], = = =
avec : donc :
= =
= = =
b) ∀ ∈ [1 ; 10], > 0 donc > 0
Le signe de est donc le même que celui de - . - > 0 ⇔ - > -32 ⇔ < ⇔ <
On en déduit le tableau de variations suivant : 1 10
- + –
+ –
-7 -
Calcul des valeurs dans le tableau : = -1 + – = -1 + 10 – 16 = -7
= -1 + – = -1+10× – 16×( ) = -1+ – = =
= -1 + – = -1 + 1 – = - 3. a) ∀ ∈ [ ; 10], ∈ [- ; ]
- = -0,16 > -2
Puisque : -2 ∉ [- ; ] alors l'équation = -2 n'admet aucune solution sur [ ; 10].
∀ ∈ [1 ; ], ∈ [-7 ; ]
La fonction est continue et strictement croissante sur [1 ; ]. De plus : -2 ∈ [-7 ; ].
Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation = -2 admet une unique solution sur [1 ; ] et finalement sur [1 ; 10].
b) = -2
En utilisant le tableur de la calculatrice, on obtient :
• = -7 < -2 Et : = 0 > -2 Donc : 1 < < 2
• = -2,02 < -2 Et : = -1,44 > -2 Donc : 1,4 < < 1,5
• = -2,02 < -2 Et : = -1,96 > -2 Donc : 1,4 < < 1,41
• = -2,001 < -2 Et : = -1,994 > -2 Donc : 1,403 < < 1,404
f f(x) 10x 16x2
(-x+8)(x¡2) x2
f
f0(x)
-10x+32 x3 -x2+2x+8x¡16
x2
-x2 x2
10x x2
16 x2 f(x)
10 x
16 x2
f
x f(x) (-x+8)(xx2 ¡2) -x
2+10x¡16 x2
u(x)
½ v(x)
u(x) = -x2+ 10x¡16 v(x) =x2
½ u0(x) = -2x+ 10 v0(x) = 2x u0(x)v(x)¡v0(x)u(x)
v2(x) f0(x) (-2x+10)x
2¡2x(-x2+10x¡16) x4
f0(x) -2x
3+10x2+2x3¡20x2+32x x4
-10x2+32x x4
x x x3
f0(x) 10x+ 32
10x+ 32 10x x 32
10 x 16
5
f(x)
®
x 16
5 10x+ 32
f0(x) f(x)
O O
f(1) 10 1
16 12 f(165 ) 1016
5
16 (165 )2
5 16
5 16
2
f(165 ) 5016 2516 -16+5016¡25 169 9
16
f(10) 1010 10162 10016 254 4
25
x 165 f(x) 169
16 5
9 f 16
16 5
x 165 f(x) 254 169 4
25 9
16 f(x) 16
5 4
25
f(1) f(2)
f(®)
®
®
f(1,4) f(1,5)
f(1,4) f(1,41) ®
®
f(1,403) f(1,404)
f(x) -x
2+10x¡16 x2 x
4. a) ∀ ∈ [1 ; 10], = ∀ ∈ [1 ; 10], > 0
Le signe de est donc le même que celui de . > 0 ⇔ > 96 ⇔ > ⇔ >
On en déduit le tableau suivant :
1 10
– +
– +
concave convexe
5.
b) s'annule et change de signe en = donc c admet un point d'inflexion A d'abscisse . = -1 + – = -1+10× – 16×( ) = -1+ – = = = Le point A a donc pour coordonnées ( ; ).
5. a) La tangente T à c au point B d'abscisse 2 a pour équation : =
Or : = = = =
Et : = = 0
Donc : = = b) = 4,8.
est concave sur [1 ; 4,8] donc c est située en dessous de la tangente T au point B d'abscisse 2.
Exercice 2 : Téléphonie mobile.
Un opérateur de téléphonie mobile constate que, chaque année, il perd 8 % de ses précédents abonnés et que, par ailleurs, il gagne 3 millions de nouveaux abonnés. En 2013, le nombre d'abonnés était de 20 millions.
On s'intéresse au nombre d'abonnés, en millions, pour l'année 2013 + .
En supposant que cette évolution se poursuit de la même façon, la situation peut être modélisée par la suite ( ) définie pour tout entier naturel par :
Le terme donne une estimation du nombre d'abonnés pour l'année 2013 + .
2. a) En arrondissant les résultats à 10 , l'opérateur de téléphonie mobile obtient une estimation de son nombre d'abonnés au millier près.
b) = = 18,4 + 3 = 21,4
En 2014, l'opérateur avait environ 21,4 millions d'abonnés.
= = 22,688
En 2015, l'opérateur avait environ 22,688 millions d'abonnés.
On définit la suite ( ) définie pour tout entier naturel par : = . 2. a) ∀ ∈ N, on a : = et :
Donc : = = =
Or : = ⇒ =
Donc : = = =
Finalement : ∀ ∈ N, =
On en déduit que ( ) est une suite géométrique de raison 0,92.
Calcul du 1
er terme : = = 20 – 37,5 = -17,5
n
un n
½ u0 = 20
un+1= 0,92un+ 3
un n
-3
vn n vn un¡37,5
vn
x f00(x) 20xx¡496
20x¡96
x x4
f00(x) 20x¡96
20x x 9620 x 245
x
O O
24 5 20x¡96
f00(x) f
f00(x) x 245 245
f(245 ) 1024 2
5
16 (245 )2
5 24
5 24
25 12
25 36
-36+75¡25 36
14 36
7 18 24
5 7 18
y f0(2)(x¡2) +f(2) f0(2) -10£22+323 -20+328 128 32
f(2) (-2+8)(222 ¡2) y 32(x¡2) + 0 y 3
2x¡3 24
5 f
u1 = 0,92u0+ 3 0,92£20 + 3 u2 = 0,92u1+ 3 0,92£21,4 + 3
n vn un¡37,5 vn+1 un+1¡37,5
un+1 = 0,92un+ 3
0,92un+ 3¡37,5 0,92un¡34,5 vn un¡37,5 un vn+ 37,5
vn+1 0,92(vn+ 37,5)¡34,5 0,92vn+ 34,5¡34,5 0,92vn
n vn+1 0,92vn
v0 u0¡37,5
b) Puisque ( ) est une suite géométrique de raison = 0,92 et de 1er terme = -17,5 alors :
∀ ∈ N, = = - On en déduit : = = - c) 2020 = 2013 + 7
= - ≈ 27,738
En 2020, l'opérateur de téléphonie mobile aura environ 27, 738 millions d'abonnés.
3. ∀ ∈ N, = -
0,92 ∈ ]0 ; 1[ donc : = 0
On en déduit : = - = 0
= 0 + 37,5 = 37,5
Ainsi : = 37,5
Cela signifie que dans un très grand nombre d'années le nombre d'abonnés à l'opérateur de téléphonie tendra vers 37,5 millions. L'opérateur peut alors espérer dépasser un jour 30 millions d'abonnés.
Compte tenu des investissements, l'opérateur considère qu'il réalisera des bénéfices lorsque le nombre d'abonnés dépassera 25 millions.
4. a) Compléter l'algorithme pour déterminer le nombre d'années pour que l'opérateur fasse des bénéfices Variables : N est un entier naturel
U est un réel
Traitement : Affecter à N la valeur 0 Affecter à U la valeur 20 Tant que U < 25
Affecter à N la valeur N + 1
Affecter à U la valeur 0,92 × U + 3 (*) Fin tant que
Sortie : Afficher N
(*) ou : Affecter à U la valeur -17,5 × 0,92 + 37,5 b) La valeur affichée en sortie de l'algorithme est N = 5.
2013 + 5 = 2018. On en déduit que l'opérateur réalisera des bénéfices pour la première fois en 2018.
c) L'algorithme suivant permet d'afficher les estimations du nombre d'abonnés chaque année, de 2013 jusqu'à l'année 2013 + K, K étant un entier saisi en entrée de l'algorithme.
Variables : et K sont deux entiers naturels U est un réel
Entrée : Saisir K Traitement :
Sorties :
Pour allant de 0 à K
Affecter à U la valeur -17,5 × 0,92 + 37,5 Afficher U
Fin Pour Codage de l'algorithme en langage calculatrice :
vn q v0
n vn v0£qn 17,5£0,92n
un vn+ 37,5 17,5£0,92n+ 37,5 u7 17,5£0,927+ 37,5
n
n!lim+10,92n
n!lim+1(-17,5£0,92n) un 17,5£0,92n+ 37,5
17,5£0
n!lim+1(-17,5£0,92n+ 37,5)
n!lim+1un
N
i
i
i
