Nom :
Prénom : DS n°2
le 19/12/2017 Classe :
BTS 1
Avis du professeur
Compétences évaluées Acquis En cours
d'acquisition Non Acquis Utiliser les résultats fournis par un logiciel de calcul formel.
Dériver une fonction.
Déterminer les limites d'une fonction. Interpréter graphiquement certains résultats.
Déterminer les variations d'une fonction. Dresser un tableau de variations complet.
Comprendre un algorithme. Déterminer le résultat affiché en sortie.
Compléter un tableau de valeurs
Construire la courbe représentative d'une fonction.
Justifier qu'une équation admet une unique solution sur un intervalle donné.
Les exercices seront traités dans l'ordre de votre choix. La présentation et le soin apportés à la présentation de votre copie rentreront pour une part importante dans sa notation.
Exercice 1 : … / 4
Dans cet exercice, on pourra utiliser les résultats suivants, obtenus avec geogebra, sans les justifier.
La viscosité d'un lubrifiant décroit lorsque la température augmente, mais de façon plus ou moins rapide selon sa nature chimique.
1. Pour un nouveau lubrifiant silicone, la viscosité (en mm .s ) à la température (en Kelvin) est où est la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par :
= - + .
a) Justifier la décroissance de sur ]0 ; +∞[.
b) Déterminer, au °C près, la température à partir de laquelle la viscosité de ce lubrifiant devient inférieure à 40 mm .s .
Indication : On obtient la température en °C en retranchant 273 à la température en °K.
2. La viscosité (en mm .s ) d'un lubrifiant minéral de grade ISOVG68 est donné par :
= - + .
A quelle température, au °K près, peut-on estimer que la viscosité des deux lubrifiants est la même ?
3. On admet qu'un lubrifiant L est plus performant qu'un autre L' si, lorsque la température augmente, la viscosité de L décroît plus lentement que celle de L'.
Quel est, des deux lubrifiants présentés ci-dessus, le plus performant pour des températures proches de 313 °K ?
Exercice 2 : Soit définie sur ] ; +∞[ par : = . … / 5
On note c sa courbe représentative.
1. Déterminer les limites de aux bornes de son ensemble de définition. En déduire une asymptote de c.
2. a) Justifier que est du même signe que sur ] ; +∞[.
b) Dresser le tableau de variations de .
t f(t) f
f(t) 0,7
e
1324tf
2 -1
2 -1
g(t) 0,7
e
4,06£t410102 -1
f(x) -1
f 2 4x¡2¡3ln(2x+ 1)
f
-1 4x¡1 2
f0(x)
f
Exercice 3 : … / 11 Partie A :
Soit la fonction définie sur [ ; +∞[ par : = . On note c sa courbe représentative.
1. Déterminer la limite de en +∞. Que peut-on en déduire graphiquement ? 2. a) Justifier que pour tout de [ ; +∞[ par : = - .
b) Dresser le tableau de variations de sur [ ; +∞[.
3. a) Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant. Arrondir à près.
b) Construire la courbe c dans un repère orthogonal en prenant pour unités graphiques cm pour unité en abscisse et cm pour unité en ordonnée.
4. a) Justifier que l'équation = admet une unique solution sur [ ; ].
b) Quel est le rôle de l'algorithme suivant ? Quelle est la valeur affichée en sortie ? →
→
Tant que >
→
→
Fin tant que Afficher Partie B :
Dans les régions de production, on peut contrôler le taux de sucre des melons avec un réfractomètre à mesure rapide. Le taux de défaillance du réfractomètre dans l'intervalle de temps [ ; +∞[ peut être modélisé par la fonction définie par = où est exprimé en heures et est la fonction définie dans la partie A.
1. Quel est le taux de défaillance du réfractomètre au bout de deux heures ? Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie à près.
2. Pour des raisons de fiabilité, on doit changer le réfractomètre lorsque le taux de défaillance est supérieur ou égal à .
a) Montrer que le taux de défaillance est supérieur ou égal à lorsque ≤ . b) Déterminer la durée d'utilisation du réfractomètre, à près.
f f(x) (1 + 2x)e-2x
f
x f0(x)
f
-2
x f(x)
g g(t) 1¡f(t) t f
-2
f(t) f(x) 0,25
10
5 1
® 1
1 0,5
0 1,5 2 3
10 0
0 0
4x e-2x
0 3
x
x x+ 0,1 0
1 v
v 0,25 v x
10-1 10
0,75 0,25
0,75
0 (1 + 2x)e-2x
Correction du DS n°2 Exercice 1 :
Dans cet exercice, on pourra utiliser les résultats suivants, obtenus avec geogebra, sans les justifier.
La viscosité d'un lubrifiant décroit lorsque la température augmente, mais de façon plus ou moins rapide selon sa nature chimique.
1. Pour un nouveau lubrifiant silicone, la viscosité (en mm .s ) à la température (en Kelvin) est où est la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par :
= - + .
a) Justifier la décroissance de sur ]0 ; +∞[.
∀ t ∈ ]0 ; +∞[, = - + = -
- < 0
∀ t ∈ ]0 ; +∞[, > 0 et > 0
On en déduit que est négative sur ]0 ; +∞[.
Ainsi, est décroissante sur ]0 ; +∞[.
b) Déterminer, au °C près, la température à partir de laquelle la viscosité de ce lubrifiant devient inférieure à 40 mm .s .
Indication : On obtient la température en °C en retranchant 273 à la température en °K.
D'après les résultats affichés on a : = ⇔ ≈ °K
Puisque est décroissante sur ]0 ; +∞[, on en déduit : < ⇔ > °K
– =
Donc la viscosité du lubrifiant silicone devient inférieure à mm .s à partir de °C.
2. La viscosité (en mm .s ) d'un lubrifiant minéral de grade ISOVG68 est donné par :
= - + .
A quelle température, au °K près, peut-on estimer que la viscosité des deux lubrifiants est la même ? D'après les résultats affichés on a : = ⇔ ≈ °K
On peut alors estimer que la viscosité des deux lubrifiants est la même à °K.
3. On admet qu'un lubrifiant L est plus performant qu'un autre L' si, lorsque la température augmente, la viscosité de L décroît plus lentement que celle de L'.
Quel est, des deux lubrifiants présentés ci-dessus, le plus performant pour des températures proches de 313 °K ?
La viscosité des deux lubrifiants (le silicone et le minéral) décroit lorsque la température augmente mais d'après les résultats affichés, on a : ≈ - et ≈ -
On a alors >
Ces valeurs sont associées aux coefficients directeurs des tangentes aux courbes représentatives de et au point d'abscisse . On en déduit que la viscosité du lubrifiant silicone décroît plus lentement que celle du lubrifiant minéral pour des températures proches de °K ?
f
2 -1 t f(t) f
f(t) 0,7
e
1324tf
f(t) 0,7
e
1324tf0(t) 1324 t2
e
1324t1324
t2
e
1324tf0
2 -1
40
2 -1 84
f(t) 40 t 357 f
f(t) 40 t 357 357 273 84
2 -1
g(t) 0,7
e
4,06£t41010313 f(t) g(t) t 313
313
f0(313) 0,93 g0(313) 3,72 f0(313) g0(313)
f g
313
Exercice 2 : Soit définie sur ] ; +∞[ par : = . On note c sa courbe représentative.
1. Déterminer les limites de aux bornes de son ensemble de définition. En déduire une asymptote de c.
• Etude de la limite en : = -
De plus : = Or : = -∞ Donc, par composée : = -∞
On en déduit, par produit : = +∞ et par somme : = +∞
• Etude de la limite en +∞ :
∀ ∈ ] ; +∞[, = = ( )( – 3 )
On a : = +∞ Or : = Donc, par composée : =
De plus, la limite en l'infini d'une fonction rationnelle est celle de ses termes de plus haut degré.
Donc : = =
On en déduit, par somme et produit : ( – 3 ) = =
Finalement, par produit : = +∞
• Puisque = +∞ alors la droite d'équation = est asymptote verticale à c.
2. a) Justifier que est du même signe que sur ] ; +∞[.
∀ ∈ ] ; +∞[, = = avec =
Donc : = = = = = =
2 > 0 et > 0 ⇔ > - ⇔ >
On en déduit que est du même signe que sur ] ; +∞[.
b) Dresser le tableau de variations de .
On sait que est du même signe que sur ] ; +∞[.
Donc : > 0 ⇔ > 0 ⇔ > ⇔ >
= × – 2 – 2× + = - – On en déduit le tableau de variations suivant :
+ ∞
– +
+ ∞ + ∞ - –
f -12 f(x) 4x¡2¡3ln(2x+ 1)
f
f0(x) 4x¡1 -12
f -1
2 lim
x!-12
4x¡2 4
2x+ 1 0+ lim
x!-12
x>-12
lnX lim
x!-12
x>-12
ln(2x+ 1)
lim
x!-12
x>-12
-3ln(2x+ 1) lim
x!-12
x>-12
f(x)
f(x) 4x¡2¡3ln(2x+ 1) -1
x 2 2x+ 1 4x2x+1¡2 ln(2x+1)2x+1
2x+ 1
x!lim+1 0+ lim ln(2x+1)2x+1
x!+1 0+
x!lim+1
4x¡2 2x+1
4 2 2
x!lim+1
4x¡2 2x+1
ln(2x+1)
2x+1 2¡3£0 2
x!lim+1f(x)
f(x) x -12
lim
x!-12
x -12 f(x) 4x¡2¡3ln(2x+ 1) 4x¡2¡3ln(u(x)) u(x) 2x+ 1 f0(x) 4¡3u
0(x)
u(x) 4¡32x+12 4(2x+1)2x+1¡6 8x+42x+1¡6 8x2x+1¡2 2(4x2x+1¡1)
2x+ 1 2x 1 x -12
f0(x) 4x¡1 -12
1 x
f0(x) 4x¡1 -12
4x¡1 4x 14
f(14) 4 14 3ln( 14 1) 1 3ln(32)
f0(x) f(x)
x 1
4
1 3ln(32) O f0(x)
lim
X!0+
X!lim+1
lnX X
-1 2
Exercice 3 : Partie A :
Soit la fonction définie sur [ ; +∞[ par : = . On note c sa courbe représentative.
1. Déterminer la limite de en +∞. Que peut-on en déduire graphiquement ?
∀ ∈ [ ; +∞[, = = + = +
On a : = -∞ Or : = Donc, par composée : = De plus : = +∞ Or : = Donc, par composée : = Ainsi, par somme : =
On en déduit que l'axe des abscisses est asymptote horizontale à c en + ∞.
2. a) Justifier que pour tout de [ ; +∞[ par : = - .
∀ ∈ [ ; +∞[, = = avec : = et : =
= = –
= = -
b) Dresser le tableau de variations de sur [ ; +∞[.
∀ ∈ [ ; +∞[, = -
∀ ∈ [ ; +∞[, > 0 et : - < 0 donc : < 0
= = =
On en déduit le tableau de variations suivant :
0 1 –
1 0 3. a) Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant. Arrondir à près.
b) Construire la courbe c dans un repère orthogonal en prenant pour unités graphiques cm pour unité en abscisse et cm pour unité en ordonnée.
Remarque : On commence par indiquer en rouge la tangente horizontale au point d'abscisse 0 et l'asymptote à c en + ∞ pour sentir et représenter les courbures initiales et finales de la courbe.
f 0 f(x) (1 + 2x)e-2x
f
x 0 f0(x) 4x e-2x
f 0
10-2
x 0 0,5 1 1,5 2 3
f(x)
5 1
10 1
x f0(x) f(x) x 0 f(x) (1 + 2x)e-2x e-2x
x!lim+1-2x lim eX
X!-1 0 lim e-2x 0
x!+1
2x e-2x e-2x e2x2x
x!lim+1 0 lim
x!+1 0
2x lim eXX e2x2x
X!+1 x!lim+1f(x) 0
x 0 f(x) (1 + 2x)e-2x u(x)v(x) u(x) 1 + 2x v(x) e-2x 2e-2x (1 + 2x)
f0(x) f0(x)
u0(x)v(x) +v0(x)u(x) 2e-2x 2e-2x¡2e-2x¡4x e-2x 4x e-2x
x 0 f0(x) 4x e-2x
x 0 e-2x 4x
f(0) (1 + 2£0)e-2£0 1e0 1
f0(x)
1 0,74 0,41 0,2 0,09 0,02
4. a) Justifier que l'équation = admet une unique solution sur [ ; ].
La fonction est continue et strictement décroissante sur [ ; ].
On a : = Et : ≈ Or : < < 1
Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation = admet une seule solution sur [ ; ].
On la note .
b) Quel est le rôle de l'algorithme suivant ? Quelle est la valeur affichée en sortie ? →
→
Tant que >
→
→
Fin tant que Afficher
Cet algorithme permet de déterminer une valeur approchée, au dixième près, du plus petit réel positif tel que : ≤
La valeur affichée en sortie est : = Partie B :
Dans les régions de production, on peut contrôler le taux de sucre des melons avec un réfractomètre à mesure rapide. Le taux de défaillance du réfractomètre dans l'intervalle de temps [ ; +∞[ peut être modélisé par la fonction définie par = où est exprimé en heures et est la fonction définie dans la partie A.
1. Quel est le taux de défaillance du réfractomètre au bout de deux heures ? Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie à près.
= = = ≈
2. Pour des raisons de fiabilité, on doit changer le réfractomètre lorsque le taux de défaillance est supérieur ou égal à .
a) Montrer que le taux de défaillance est supérieur ou égal à lorsque ≤ . ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≤
b) Déterminer la durée d'utilisation du réfractomètre, à près.
On doit changer le réfractomètre lorsque le taux de défaillance est supérieur ou égal à , c'est-à-dire lorsque ≤ . Le résultat fourni par l'algorithme étudié à la question 4 de la partie A indique que :
≤ ⇔ ≈
On doit donc changer de réfractomètre au bout de heure d'utilisation.
f(x) 0,25 ® 0 3
0 x
1 v
v 0,25 x+ 0,1 x
v x
0
g g(t) 1¡f(t) t f
10-2
0,75
0,75 f(t) 0,25
10-1 0 3 f
f(0) 1 f(3) 0,02 0,25
0,02
f(x) 0,25 0 3
®
(1 + 2x)e-2x
f(x)
x 0,25
x 1,4
g(2) 1¡f(2) 1¡(1 + 2£2)e-2£2 1¡5e-4 0,91
0,75
g(t) 1¡f(t) 0,75 1¡0,75 f(t) f(t) 0,25
0,75 f(t) 0,25
f(t) 0,25 t 1,4
1,4
