Nom :
Classe : TMATHS2 DS n°4
Etude de fonctions – Probabilités Le : 04/02/2021 Durée : 2h Note : … / 20
Avis du professeur
Capacités évaluées : Non acquis Acquis
Déterminer la limite d'une composée de fonctions.
Dériver / Etudier le sens de variations d'une fonction.
Justifier qu'une équation admet une unique solution sur un intervalle. Approcher cette solution.
Calculer.
Raisonner.
Déterminer / Interpréter la convexité d'une fonction.
Déterminer / Interpréter des résultats obtenus en utilisant des fonctions Python.
Répondre correctement à un QCM.
Calculer des probabilités / Interpréter des résultats.
Exercice 1 : … / 8
Lorsque la queue d'un lézard des murailles casse, elle repousse toute seule en quelques semaines.
Lors de la repousse, on modélise la longueur, en centimètre, de la queue du lézard en fonction du nombre de jours à l'aide de la fonction , définie sur [ ; +∞[ par :
=
où est la fonction définie sur [ ; +∞[ par : =
1. Déterminer la limite de quand tend vers +∞.
2. a) Justifier que, pour tout réel positif, =
b) En déduire le sens de variations de la fonction sur [ ; +∞[.
c) Justifier que l'équation = admet une unique solution sur [ ;+∞[ puis donner une valeur approchée de au dixième.
3. a) Calculer la valeur exacte de . En déduire une estimation, au millimètre près, de la longueur de la queue du lézard au bout de jours de repousse.
b) Selon cette modélisation, la queue du lézard pourra-t-elle un jour repousser de cm ? Justifier.
4. On souhaite déterminer au bout de combien de jours la vitesse de croissance est maximale. On admet que la vitesse de croissance au bout de jours est donnée par . On admet également que , la fonction dérivée de , est définie par :
= a) Déterminer la convexité de sur [ ; +∞[.
b) En déduire au bout de combien de jours la vitesse de croissance de la queue du lézard est maximale.
5. On considère les fonctions Python suivantes :
a) Donner le résultat obtenu en tapant l'instruction suivante : b) Que permet de déterminer la fonction Python durée(L) ?
c) On considère que la queue du lézard aura fini de repousser dès qu'elle aura atteint une longueur de cm. Déterminer le nombre de jours nécessaires.
f 0
10eu(x) f(x)
0 -e2¡
x u(x) 10
u
x f0(x) -u(x)eu(x) 0 f
f(20) 20
11
f0(x) f00
f0
x
f00(x) 1
10u(x)eu(x)(1 +u(x))
f(x) x
f 0
9,9
f(x) 5 ® 0
®
Exercice 2 : … / 4 On considère la fonction définie et dérivable sur R dont la courbe représentative c est donnée ci-dessous.
On note la fonction dérivée de et la fonction dérivée de . T est la tangente c au point A d'abscisse 2.
Le point B( ; ) appartient à T.
Donner, sans justifier, l'unique bonne réponse à chacune des questions suivantes.
1. Le nombre de solutions, dans l'intervalle [ ; ] de l'équation = est :
a) b) c) d)
2. est égal à :
a) b) c) d)
3. Le nombre de points d'inflexion de c , dans l'intervalle [ ; ], est :
a) b) c) d)
4. La fonction est positive sur :
a) [ ; +∞[ b) [ ; ] c) [ ; ] d) [ ; ]
Exercice 3 : … / 8
Une grande entreprise vient de clôturer sa campagne de recrutement qui s'est déroulée en deux temps :
• premier temps : étude du dossier présenté par le candidat
• deuxième temps : entretien en vue du recrutement.
Le processus de recrutement mis en œuvre par l'entreprise est le suivant :
• si le dossier est jugé de bonne qualité, alors le candidat est reçu pour un entretien.
• si le dossier n'est pas jugé de bonne qualité, alors le candidat subit des tests puis est reçu en entretien.
Dans les deux cas, le directeur des ressources humaines prend la décision de recruter, ou non, le candidat à l'issue de son entretien.
À l'issue de cette campagne de recrutement, l'entreprise publie les résultats suivants :
◦ % des candidats avaient un dossier jugé de bonne qualité.
◦ % des candidats n'ayant pas un dossier jugé de bonne qualité ont été recrutés.
◦ % des candidats ont été recrutés.
1. On prend un candidat au hasard et on note :
▪ D l'évènement « le candidat a un dossier jugé de bonne qualité »
▪ R l'évènement « le candidat est recruté par l'entreprise ».
a) Représenter cette situation à l'aide d’un arbre pondéré.
b) Calculer la probabilité que le candidat n'ait pas un dossier de bonne qualité et ne soit pas recruté par l'entreprise.
c) Montrer que la probabilité de l'évènement D ∩ R est égale à .
d) En déduire la probabilité qu'un candidat soit recruté sachant que son dossier est jugé de bonne qualité.
2. personnes postulent pour un emploi dans l'entreprise. Les études de leurs candidatures sont faites indépendamment les unes des autres. On désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi les . Sauf mention du contraire, les probabilités seront arrondies à près.
a) Justifier que X suit une loi binomiale et donner ses paramètres.
b) Calculer la probabilité que quatre personnes soit recrutées.
c) Calculer la probabilité qu'au moins cinq personnes soient recrutées.
d) Calculer E(X) et (X), à l'unité près. Interpréter E(X).
e) Calculer et interpréter P( < X < ) où = E(X) et = (X).
f f
7
-7 f0(x) 0
0 1 2 3
f0(2)
-7 7 f
0 1 2 3
f00
0 -1 1 -2 0 0 2
30 20 38
0,24
f0 f f00 f0
f
T
× B
×
A 5 0
16
16
¾
µ+¾
µ¡¾ µ ¾ ¾
10-3
0,4 15
2
-15 2
-2 15
Correction du DS n°4 Exercice 1 :
Lorsque la queue d'un lézard des murailles casse, elle repousse toute seule en quelques semaines.
Lors de la repousse, on modélise la longueur, en centimètre, de la queue du lézard en fonction du nombre de jours à l'aide de la fonction , définie sur [ ; +∞[ par :
=
où est la fonction définie sur [ ; +∞[ par : =
1. Déterminer la limite de quand tend vers +∞.
= +∞. On en déduit = -∞ puis, par somme = -∞
Or, =
Donc, par composée de limites, = . On en déduit = = .
De plus, = = . On en déduit =
Finalement, par produit, = =
2. a) Justifier que, pour tout réel positif, =
∀ ∈ R+, = avec = =
En posant = = on obtient =
donc = = = = =
b) En déduire le sens de variations de la fonction sur [ ; +∞[.
∀ ∈ R+, > donc = < . De plus, > . On en déduit que = >
Ainsi, la fonction est croissante sur [ ; +∞[.
c) Justifier que l'équation = admet une unique solution sur [ ;+∞[ puis donner une valeur approchée de au dixième.
= avec = = donc = ≈ . De plus, = .
Ainsi, ∀ ∈ R+, ∈ [ ; [.
est continue et croissante sur [ ; +∞[. De plus, ∈ [ ; [.
Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation = admet une unique solution sur [ ;+∞[. La calculatrice permet de déterminer ≈
3. a) Calculer la valeur exacte de . En déduire une estimation, au millimètre près, de la longueur de la queue du lézard au bout de jours de repousse.
= avec = = = =
Donc = = ≈ .
Ainsi, au bout de jours de repousse, la queue du lézard aura une longueur d'environ cm.
f 0
f(x) 10eu(x)
u 0
u(x) -e2¡ x 10
f(x) x
x f0(x) -u(x)eu(x)
f 0
f(x) 5 ® 0
®
f(20) 20
x!lim+1
x
10 lim
x!+1 lim
x!+1
- x
10 2¡ x
10 lim
X!-1eX 0
x!lim+1e2¡ x
10 0 lim
x!+1u(x) lim 0
x!+1-e2¡ x 10 eX
lim
X!0 e0 1 lim
x!+1eu(x) 1
x!lim+1f(x) lim
x!+110eu(x) 10
x f(x)
f0(x) 10u0(x)eu(x)
u(x) -e2¡ x
10 -ev(x) 2¡ x
v(x) 10 2¡ 1
10x u0(x) -v0(x)ev(x) 10 (-v0(x)ev(x))eu(x) 10£(- -1
10e2¡ x
10 )eu(x) e2¡ x
10 eu(x) -u(x)eu(x)
x e2¡ 0 u(x) 0
x
10 -e2¡
x 10 10eu(x)
eu(x) 0 f0(x) -u(x)eu(x) 0
f 0
x
f(0) 10eu(0) u(0) -e2¡ 0
10 -e2 f(0) 10e-e2 0,006 lim
x!+1f(x) 10 f(x) 10e-e2 10
5 10e-e2 10
f 0
f(x) 5 ®
0 ® 23,7
f(20) 10eu(20) u(20) -e2¡ 20
10 -e2¡2 -e0 - 1 f(20) 10e- 1 10
e 3,7
20 3,7
b) Selon cette modélisation, la queue du lézard pourra-t-elle un jour repousser de cm ? Justifier.
On sait que est croissante sur [ ; +∞[ et que = .
Cela signifie que, selon ce modèle, la queue du lézard repoussera jusqu'à se rapprocher d'une longueur finale de cm sans, théoriquement, jamais atteindre ni dépasser cette valeur. Ainsi, la queue du lézard ne pourra jamais repousser de cm.
4. On souhaite déterminer au bout de combien de jours la vitesse de croissance est maximale. On admet que la vitesse de croissance au bout de jours est donnée par . On admet également que , la fonction dérivée de , est définie par :
= a) Déterminer la convexité de sur [ ; +∞[.
∀ ∈ R+, =
On sait que ∀ ∈ R+, > et > .
Le signe de ne dépend donc que de ceux de et . Or, on a précédemment justifié que ∀ ∈ R+, < .
On en déduit que est du signe contraire de .
> ⇔ > ⇔ > ⇔ < ⇔ < ⇔ <
Donc > ⇔ < ⇔ >
On en déduit, que est positif sur [ ; ] puis négatif sur [ ; +∞[.
Ainsi, est convexe sur [ ; ] puis concave sur [ ; +∞[.
b) En déduire au bout de combien de jours la vitesse de croissance de la queue du lézard est maximale.
La vitesse de croissance de la queue du lézard est maximale lorsque est maximale.
La convexité de permet de déterminer le sens de variations de .
En effet, on sait que est convexe sur [ ; ] puis concave sur [ ; +∞[ car est positif sur [ ; ] puis négatif sur [ ; +∞[. On en déduit que est croissante sur [ ; ] puis décroissante sur [ ; +∞[.
C'est donc au bout de jours que la croissance de la queue du lézard sera la plus rapide.
5. On considère les fonctions Python suivantes :
a) Donner le résultat obtenu en tapant l'instruction suivante : On obtient .
b) Que permet de déterminer la fonction Python durée(L) ?
Cette fonction Python permet de déterminer le nombre minimal de jours nécessaires avant que la queue du lézard ait repoussé d'au moins L cm.
c) On considère que la queue du lézard aura fini de repousser dès qu'elle aura atteint une longueur de cm. Déterminer le nombre de jours nécessaires.
Il faut attendre jours avant que la queue du lézard repousse d'au moins cm.
11
x f0(x) f00
f0
f00(x) 1
10u(x)eu(x)(1 +u(x))
f 0
9,9
x!lim+1f(x) 10 0
f
10
11
x f00(x) 1
10u(x)eu(x)(1 +u(x))
x 1
10 0 eu(x) 0
f00(x) u(x) 1 +u(x)
x u(x) 0
f00(x) 1 +u(x)
1 +u(x) 0 u(x) -e2¡ x
10 e2¡ 1
x
- 1 - 1 10 2¡ x
10 ln(1) 2¡ x 10 0
1 +u(x) 0 x
2 10 x 20
f00(x) 0 20 20
0 20 20
f
f0 f0 f
f 0 20 20 f00(x) 0 20
20 f0 0 20 20
20
24
9,9
67
Exercice 2 :
On considère la fonction définie et dérivable sur R dont la courbe représentative c est donnée ci-dessous.
On note la fonction dérivée de et la fonction dérivée de . T est la tangente c au point A d'abscisse 2.
Le point B( ; ) appartient à T.
Donner, sans justifier, l'unique bonne réponse à chacune des questions suivantes.
1. Le nombre de solutions, dans l'intervalle [ ; ] de l'équation = est :
a) b) c) d)
Graphiquement, l'équation = a une solution à chaque fois que la courbe c admet un minimum ou un maximum local, c'est-à-dire une tangente horizontale. On en déduit que cette équation admet deux solutions.
2. est égal à :
a) b) c) d)
Graphiquement, correspond au coefficient directeur de la tangente T à c au point A d'abscisse .
= = = = =
3. Le nombre de points d'inflexion de c , dans l'intervalle [ ; ], est :
a) b) c) d)
Graphiquement, c admet un point d'inflexion chaque fois qu'elle traverse une tangente.
Or, autour de = , c passe de en dessous à au dessus de ses tangentes. Il y a donc ici un premier point d'inflexion. Le 2nd point d'inflexion semble être d'abscisse = car c semble repasser en dessous de ses tangentes lorsque devient plus grand que . Enfin, c traverse la tangente T en A. Donc A est le 3e point d'inflexion. Après le point A, c semble rester au dessus de ses tangentes.
4. La fonction est positive sur :
a) [ ; +∞[ b) [ ; ] c) [ ; ] d) [ ; ]
Graphiquement, la fonction est positive lorsque est convexe c'est-à-dire lorsque c se situe au dessus de ses tangentes. C'est le cas lorsque est dans l'intervalle [ ; ].
f f
f0 f f00 f0
f 5 0
-7 7 f0(x) 0
0 1 2 3
f0(2) 0,4
f -7 7
0 1 2 3
f00
0 -1 1 -2 0 0 2
T
× B
× A
f0(x) 0 f
f0(2) f 2
f0(2) yA¡yB
xA¡xB
0,4¡0 2¡5
0,4 -3
-4 30
-2 15 -15
2
-2 15 15
2
f -2 x
x 0 f
f
x 0 f
f
f00 f f
x -2 0
Exercice 3 :
Une grande entreprise vient de clôturer sa campagne de recrutement qui s'est déroulée en deux temps :
• premier temps : étude du dossier présenté par le candidat
• deuxième temps : entretien en vue du recrutement.
Le processus de recrutement mis en œuvre par l'entreprise est le suivant :
• si le dossier est jugé de bonne qualité, alors le candidat est reçu pour un entretien.
• si le dossier n'est pas jugé de bonne qualité, alors le candidat subit des tests puis est reçu en entretien.
Dans les deux cas, le directeur des ressources humaines prend la décision de recruter, ou non, le candidat à l'issue de son entretien.
À l'issue de cette campagne de recrutement, l'entreprise publie les résultats suivants :
◦ % des candidats avaient un dossier jugé de bonne qualité.
◦ % des candidats n'ayant pas un dossier jugé de bonne qualité ont été recrutés.
◦ % des candidats ont été recrutés.
1. On prend un candidat au hasard et on note :
▪ D l'évènement « le candidat a un dossier jugé de bonne qualité »
▪ R l'évènement « le candidat est recruté par l'entreprise ».
a) Représenter cette situation à l'aide d’un arbre pondéré.
R
0,3 D
R
0,2 R
0,7 D
0,8 R
b) Calculer la probabilité que le candidat n'ait pas un dossier de bonne qualité et ne soit pas recruté par l'entreprise.
= = × =
La probabilité que le candidat n’ait pas un dossier de bonne qualité et ne soit pas recruté est . c) Montrer que la probabilité de l'évènement D ∩ R est égale à .
On a, d'après la formule des probabilités totales, = Or, d'après l'énoncé, =
On en déduit : = + ×
= +
= – =
d) En déduire la probabilité qu'un candidat soit recruté sachant que son dossier est jugé de bonne qualité.
= = =
La probabilité qu’un candidat soit recruté sachant que son dossier est jugé de bonne qualité est . 30
20 38
0,24
0,56 P(D\R) P(D)£PD(R) 0,7 0,8 0,56
P(D\R) 0,38 0,14 0,24
P(R) P(D\R) + P(D\R) P(R) 0,38
0,38 P(D\R) 0,7 0,2 0,38 P(D\R) 0,14
0,8 PD(R) P(D\R)
P(D)
0,24 0,3 0,8
2. personnes postulent pour un emploi dans l'entreprise. Les études de leurs candidatures sont faites indépendamment les unes des autres. On désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi les . Sauf mention du contraire, les probabilités seront arrondies à près.
a) Justifier que X suit une loi binomiale et donner ses paramètres.
Postuler pour un emploi et être recruté ou non est une épreuve de Bernoulli car il n'y a que deux issues : R et . On note R : « La personne est recrutée ». On a P(R) = .
En répétant cette épreuve fois dans des conditions d'indépendance on obtient un schéma de Bernoulli.
X est la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi les . X prend les valeurs entières de à donc X suit la loi binomiale b ( ; ).
b) Calculer la probabilité que quatre personnes soit recrutées.
P(X = ) = ≈
La probabilité que quatre des seize personnes soit recrutées est d'environ . c) Calculer la probabilité qu'au moins cinq personnes soient recrutées.
P(X ≥ ) = – P(X ≤ ) ≈
La probabilité qu'au moins cinq personnes soient recrutées est d'environ . d) Calculer E(X) et (X), à l'unité près. Interpréter E(X).
E(X) = = ≈
Ainsi, on peut espérer qu'en moyenne personnes soient recrutées parmi les candidats lorsqu'on répète ce schéma de Bernoulli un grand nombre de fois.
(X) = = ≈
e) Calculer et interpréter P( < X < ) où = E(X) et = (X).
P( < X < ) = P( < X < ) = P( < X < ) = P(X ≤ ) – P(X ≤ ) ≈ La probabilité de recruter entre et personnes parmi les candidats est d'environ .
µ¡¾ µ+¾ µ ¾ ¾
16
16 10-3
¾
0 0,38
R 0,38
16
16 16
16
4
µ16 4
¶
0,384£0,6212 0,122
0,122
5 1 4
n£p 16£0,38 6
6 16
¾ p
n£p£(1¡p) p
16£0,38£0,62 2
µ¡¾ µ+¾ 6¡2 6 + 2 4 8 7 4 0,560
0,56 16
7 5 0,789
0,789
