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Lycée Desfontaines – MELLE 1/2

Comment travailler avec des barycentres ?

Soient A un point du plan ou de l’espace et a un réel. Le couple (A;a) est appelé point pondéré.

On dit que A est affecté du coefficient a ou que A est pondéré par a.

Existence :

Soient A1,A2,…,An n points de l’espace et soient a1,a2,…,an n réels donnés.

Lorsque a1+a2+…+aný0, il existe un unique point G tel que a1GAÅ1+a2GAÅ2+…+anGAÅn= Å0 .

Définition :

Soient

(

^A1;a1

)

^,

(

^A2;a2

)

^,…

(

^An;an

)

n points pondérés du plan ou de l’espace tels que a₁+a2+…+aný0.

On appelle barycentre du système de points pondérés

{ ⁽

^A1;a1

⁾

^;

⁽

^A2;a2

⁾

^;…

⁽

^An;an

⁾ }

l’unique point G tel que a1GAÅ1+a2GAÅ2+…+anGAÅn= Å0

Propriétés :

Dans le plan ou dans l’espace, si G est le barycentre du système de points pondérés

{ (

^A1;a1

)

^;

(

^A2;a2

)

^;…

(

^An;an

) }

^{alors :}

* Quel que soit le point M, a1MAÅ1+a2MAÅ2+…anMAÅn=

(

^a1+a2+…+an

)

^ÄMG

* En particulier, pour M=A1, ÄA1G=







 a2

a1+a2+…+an

AÄ1A2+







 a3

a1+a2+…+an

AÄ1A3+…+







 an

a1+a2+…+an

AÄ1An

Lorsque a1=a2=…=an, alors G est appelé isobarycentre des points A1,A2,…,An

Cas particulier : Si G est l’isobarycentre des points A et B alors G est le milieu du segment [AB]

CAS PARTICULIER DU BARYCENTRE DE TROIS POINTS

Soit G le barycentre du système de points pondérés

{

(A;α);(B;β);(C;γ) avec α

}

+β+γý0 * Les points A,B, C et G sont coplanaires (càd que G appartient au plan (ABC))

* Soit k un réel non nul alors G est également barycentre du système

{

(A;kα);(B;kβ);(C;kγ)

}

(C’est l’homogénéité du barycentre) Lorsque α=β=γ, alors G est le centre de gravité du triangle ABC.

Associativité du barycentre :

Si G est le barycentre de

{

^(A;α);(B;β);(C;γ) et si K est le barycentre de

} {

^(B;β);(C;γ)

}

alors G est également barycentre de

{

^(A;α);(B;β+γ)

}

La réciproque de ce théorème est vraie (et très utile dans certains exercices)

Ce théorème se généralise aux barycentres de n points (nÃ3) du plan ou de l’espace.

Lycée Desfontaines – MELLE 2/2

Coordonnées du barycentre dans un repère ( ^{O; Å i ; Å} j du plan. )

Soit

(

^{O; Åi; Å}j un repère du plan et soit trois points A

) (

^xA;yA

)

^{; B}

(

^xB;yB

)

^{et C}

(

^xC;yC

)

de ce plan.

Soit G le barycentre de

{

(A;α);(B;β);(C;γ)

}

Alors les coordonnées

(

^xG;yG

)

du point G dans le repère

(

^{O; Åi; Å}j sont :

)

 



^xG=







 α

α+β+γ xA+







 β

α+β+γ xB+





 γ 

α+β+γ xC

y_G=







 α

α+β+γ y_A+







 β

α+β+γ y_B+





 γ 

α+β+γ y_C

Remarque : Cette propriété se généralise à n points (nÃ2) du plan

Coordonnées du barycentre dans un repère ( ^{O; Å i ; Å j ; Å} k de l’espace. )

Soit

(

^{O; Åi; Åj; Å}k un repère de l’espace et soit trois points A

) (

^xA;yA;zA

)

^{; B}

(

^xB;yB;zB

)

^et

C

(

^xC;yC;zC

)

de ce plan.

Soit G le barycentre de

{

(A;α);(B;β);(C;γ)

}

Alors les coordonnées

(

^xG;yG;zG

)

du point G dans le repère

(

^{O; Åi; Åj; Å}k sont :

)



 

^{xG=α+βα+γxA+α+β+β γxB+α+β+γγ xC}

yG=







 α

α+β+γ yA+







 β

α+β+γ yB+





 γ 

α+β+γ yC

zG=







 α

α+β+γ zA+







 β

α+β+γ zB+





 γ 

α+β+γ zC

Remarque : Cette propriété se généralise à n points (nÃ2) de l’espace.