￿￿￿ BARYCENTRES DANS UN ESPACE AFFINE RÉEL DE DIMENSION FINIE, CONVEXITÉ. APPLICATIONS.

��� BARYCENTRES DANS UN ESPACE AFFINE RÉEL DE DIMENSION FINIE, CONVEXITÉ. APPLICATIONS.

Soit(E, E)unR-espace a�ine.

I. Définitions, coordonnées barycentriques

I. A. Premières propriétés

Définition barycentre, isobarycentre : exemple du milieu d’un segment, de la paramétrisation d’un segment comme barycentres

Associativité du barycentre, application au centre de gravité

P�����������. [����������� �’��� ����� �� ��������� ���� �’�������������]

On définit par récurrence une suite(P^(k))_kœNparP⁽⁰⁾ = (z₁⁽⁰⁾, . . . , zn⁽⁰⁾) œ Cⁿ et P^(k+1)=!z^(k)₁ +z^(k)₂

2 , . . . ,^z

(k) n≠1+z^(k)n

2 ,^{z(k)n +z}₂ ^(k)1 "pourkœN. AlorsP^(k) _kæ+Œ≠æ (g, g, . . . , g)oùg= Isobar(z₁⁽⁰⁾, . . . , zn⁽⁰⁾).

I. B. Barycentres et structure a�ine

Une fonction est a�ine si et seulement si elle conserve les barycentres Un sous-espace est a�ine si et seulement si il contient tous les barycentres Description de l’espace a�ine défini par une partie deE

I. C. Coordonnées barycentriques

Repère a�ine, coordonnées barycentriques, uniques à renormalisation près

Lien entre repère a�ine et base vectorielle deE^aoùaest le premier point du repère a�ine Exemples du centre de gravité d’un triangle

Application : la seule application a�ine qui fixen+ 1points indépendants deEest l’identité P�����������. SoitA, B, Ctrois points non alignés. Les coordonnées barycentriques d’un point M dans le repère a�ine(A, B, C)sont proportionnelles aux aires orientées des triangles M BC,M CA,M AB. Plus précisément

A(M BC)≠≠æM A+A(M CA)≠≠æM B+A(M AB)≠≠æM C=˛0

Théorèmes deM�������et deC���

P���������� �. Soient k + 1 points A₀, . . . , Ak a�inement libres, de coordonnées dans un repère a�ine(aij)0ÆiÆn,0ÆjÆk. Alors M = (x0, . . . , xn) œ Aff(A0, . . . , Ak) si et seulement sidet(A|M) = 0.

E������ �. Dans un repère a�ine du plan, A, B, C sont alignés si et seulement sidet

Q

a a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

R b= 0.

II. Convexité

On supposeEeuclidien.

II. A. Définitions et enveloppe convexe

Partie convexe

Exemples des intervalles, d’une boule convexe, intersection de convexe

Conservation des convexes par une application a�ine ou par l’image réciproque

Exemples : hyperplans comme noyaux d’une application a�ine, hyperplans d’appuis, demis- espaces

Enveloppe convexe d’une partie

Exemples : intersection de semis-plansæpolytopes

Un convexe est stable par barycentres à coe�icients positifs. Description de l’enveloppe convexe par barycentres à coe�icients positifs

Application : l’enveloppe convexe d’une partie finie deXest compacte T��������. [�������� ��C�����������]

SoitXun espace a�ine de dimension finien. Alors pour toutS µ X,conv(S)est l’en- semble des barycentres à coe�icients positifs d’au plusn+ 1points deS. Autrement dit :

conv(S) =Óqn+1

i=1 ⁄ixi|(xi,⁄i)1ÆiÆn+1œ(S◊R+)ⁿ⁺¹Ô

C����������. SoitSun compact deXeuclidien. Alorsconv(S)est compact.

A�����������. SoitM œ Mⁿ(Z). Notons(Cj)1ÆjÆn ses colonnes. L’équation dio- phantienne M X = 0admet une solution non nulle dans Nⁿ si et seulement si0 œ conv({C1, . . . , Cn}).

II. B. Topologie des convexes

Sconvexe impliqueSetS^¶convexes

Sd’intérieur non vide si et seulement siAff(S) =E.

ÉNS Paris-Saclay –����/���� AntoineB������–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page���sur���

Agrégation – Leçons ���– Barycentres dans un espace a�ine réel de dimension finie, convexité. Applications.

Sconvexe compact impliqueS = conv(ˆS)

II. C. Points extrémaux d’un convexe, sommets

[Tau��, §�.�, p��] [Gou��, §�.�, p���]

Points extrémaux, définition équivalente : la partie privée du point reste convexe Exemples des points extrémaux de la boule fermée : la frontière

Polygones/polyèdres ... les sommets sont les points extrémaux Théorème deK����-M�����

������

Tout un tas de dessins ...

���������

Q Quel est le lien, s’il y en a, entre les polytopes et les polyèdres?

R Le polyèdre a un intérieur non vide en général. C’est juste une question de convention.

Q Qu’est-ce qu’une forme a�ine?

R C’est la donnée d’une forme linéaire et de coordonnées barycentriques.

Q SoitCun convexe deXa�ine, avecdim(X) < +Œ. Soitf : X ≠æ X a�ine telle que f(C) =C. Montrer quefpermute les points extrémaux.

Q SoitA, B, C un triangle etM un point du triangleABC, de coordonnées(–,—,“)dans (A, B, C). Exprimer–,—,“en fonction d’aires de certains triangles.

R On a– ˛AM+— ˛BM+“ ˛CM =˛0. On aA(AM C) = ¹₂det(M A,˛ M C)˛ et 0 = det(– ˛AM+— ˛BM+“ ˛CM ,CM˛ ) =–A(AM C)≠—A(BM C)

=≠–A(AM B) +“A(BM C) =—A(AM B)≠“A(AM C) DoncA(AM B) =“,A(BM C) =–,A(AM C) =—.

�������������

[Aud��] M.A����:Géométrie. EDP Sciences,����.

[Gou��] X.G������:Les maths en tête - Analyse. Ellipses,�^èmeédition,����.

[Gou��] X.G������:Les maths en tête - Algèbre. Ellipses,�^èmeédition,����.

[Tau��] P.T�����:Cours de géométrie. Dunod,����.

ÉNS Paris-Saclay –����/���� AntoineB������–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page���sur���