Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle
Exercices corrigés – Exponentielle
Corrections
Correction de l’exercice 2 PARTIE A :
Soit f la fonction définie sur
0;π
2 par f( θ)=7
2+2tan(θ)− 4 cos(θ) 1. Démontrons que f est strictement croissante sur
0;π
6 et strictement décroissante sur
π 6;π
2 : La fonction cos est dérivable sur IR donc sur
0;π
2 et ne s’annule pas sur
0;π
2 donc x→ 1 cos(x) est dérivable sur
0;π
2 . De plus la fonction tan est dérivable sur
0;π
2 donc f est dérivable sur
0;π
2 comme somme de fonctions dérivables sur
0;π
2 et ┐θ☻
0;π
2 , f′(θ)=2× 1
cos2(θ)−4×-(-sin(θ)) cos2(θ)
=2−4sin(θ) cos2(θ) .
┐θ☻
0;π
2 , cos2(θ)>0 donc f′(θ) est du signe de 2−4sin(θ) sur
0;π
2 .
Or,
2−4sinθ>0 et 0ÂθÂπ2ñ−4sinθ>-2 et 0ÂθÂπ
2ñsinθ<1
2 et 0ÂθÂπ
2ñθ☻
0; π
6 2−4sinθ=0 et 0ÂθÂπ
2ñ−4sinθ=-2 et 0ÂθÂπ
2ñsinθ=1
2 et 0ÂθÂπ
2ñθ=π 6 2−4sinθ<0 et 0ÂθÂπ
2ñ−4sinθ<-2 et 0ÂθÂπ
2ñsinθ>1
2 et 0ÂθÂπ
2ñθ☻
π 6;π
2
Ainsi
┐θ☻0;π6 , f ′(θ)>0 f ′
π 6 =0
┐θ☻
π 6;π
2 , f ′(θ)<0 D’où f est strictement croissante sur
0;π
6 et strictement décroissante sur
π 6;π
2 . 2. Montrons que ┐θ☻
0;π
2 , f(θ)=7
2+2sin(θ)−4
cos(θ) puis déterminons la limite de f en π 2:
┐θ☻
0;π
2 , f( θ)=7
2+2tan(θ)− 4
cos(θ) =7
2+2×sin(θ) cos(θ)− 4
cos(θ) =7
2+2sin(θ)−4 cos(θ) . Limite de f en π
2 :
● lim
θ↔π 2 θ<π 2
sin(θ)=1 donc lim
θ↔π 2 θ<π 2
2sin(θ)−4=-2.
● Or lim
θ↔π2 θ<π2
cos(θ)=0 et ┐θ☻
0;π
2 , cos(θ)>0 donc lim
θ↔π2 θ<π2
1
cos(θ)=+õ
donc lim
θ↔π2 θ<π2
2sin(θ)−4
cos(θ) =-õ. Ainsi lim
θ↔π2 θ<π2
f(θ)=-õ
3. Dressons le tableau de variation de f :
f
( )
π6 = 72 +2×tan( )
π6 − 4cos
( )
π6 =7 2 +2× 3
3 −4× 2 3 = 7
2 + 2 3 3 − 8
3 3 = 7
2 −2 3 >0
4.
(a) Démontrons que l’équation f(θ)=0 admet deux solution α et β : - sur
0;π
6 , f est dérivable donc continue et est strictement croissante.
f(0)=- 1
2 <0 et f
π 6 = 7
2 −2 3 >0 . Ainsi 0☻
f(0);f
π 6 .
Donc, d’après le corollaire du TVI, l’équation f(θ)=0 admet une unique solution dans
0;π
6 que l’on notera α .
- sur
π 6;π
2 , f est dérivable donc continue et est strictement décroissante.
f
π 6 = 7
2 −2 3 >0 et lim
θ↔π2 θ<π2
f(θ)=-õ. Ainsi 0☻
lim
θ↔π2
f(θ);f
π 6
Donc, d’après une extension du corollaire du TVI, l’équation f(θ)=0 admet une unique solution dans
π 6;π
2 que l’on notera β .
- Conclusion : l’équation f(θ)=0 admet deux solutions α et β dans
0;π
2 . (b) Déterminons un encadrement par balayage de α et β d’amplitude 10-1 :
On constate à l’aide de la calculatrice que f(0.3)ó-0.068<0 et f(0.4)ó2.7×10-3 >0 Donc 0.3<α<0.4
On constate à l’aide de la calculatrice que f(0.6)ó0.0217>0 et f(0.7)ó-0.045<0 Donc 0.6<β<0.7
(c) Déterminons le signe de f sur
0;π
2 à l’aide des questions précédentes : f est strictement croissante sur
0;π
6 :
Ainsi, ┐x☻ [0;α[, f(0)Âf(x)<f(α) cad -1
2Âf(x)<0
θ 0 π
6
π 2
signe de f ′ (x) + 0 −
7 2−2 3
f
- 1
2 -õ
f(0)= 7
2 +2×tan(0)− 4 cos(0)
= 7
2 +2×0−4= 7 2 − 8
2 =- 1 2
Et ┐x☻
α;π
6 , f(α)<f(x)<f
π
6 cad 0<f(x)Â7
2−2 3
f est strictement décroissante sur
π 6;π
2 : Ainsi, ┐x☻
π
6;β , f
π
6 Ãf(x)>f(β) cad 7
2−2 3Ãf(x)>0 Et ┐x☻
β;π
2 , f(β)>f(x)>f
π
2 cad 0>f(x)
Ainsi
┐θ☻[0;α[∟β;π2 ,f(θ)<0f(α)=f(β)=0
┐θ☻]α;β[,f(θ)>0
PARTIE B
1. Exprimons les distances AD et CD en fonction de θ : Dans le triangle ABD rectangle en B,
cos(θ)= AB
AD cad AD= 4
cos(θ) mètres soit AD= 0.004 cos(θ) km . et tan(θ)=BD
AB cad BD=4tan(θ) metres soit BD= 0.004tan(θ) km donc CD=CB+BD=0.007+0.004tan(θ)
2. Soient t1 et t2 les temps mis par le lapin et le camion pour parcourir respectivement les distances AD et CD. Exprimons t1 et t2 en fonction de θ.
La vitesse v exprimée en km
h est égale au quotient de la distance d exprimée en km par le temps t exprimé en h,
- v1=30 et d1=AD donc t1=d1
v1
=AD
30 = 0,004 30cos(θ) - v2=60 et d2=CD donc t2=d2
v2
=0,007+0,004tan(θ) 60
3. Montrons que le lapin aura traversé la route avant le passage du camion si et seulement si f(θ)>0.
Le lapin aura traversé la route avant le passage du camion ssi t1<t2 Or, t1<t2 ñ 0,004
30cos(θ) < 0,007+0,004tan(θ)
60 ñ 0,004
cos(θ)<0,007+0,004tan(θ) 2
ñ 4 cos(θ)<7
2+2tan(θ)ñ 7
2+2tan(θ)− 4
cos(θ)>0 ñ f(θ)>0 4. Concluons :
D’après la partie A, on peut en déduire que le lapin aura traversé avant le passage du camion si et seulement si θ☻]α;β[ !!!
