solutions

Trigonométrie: solutions

1. 33◦₁₃0_{= 33, 216} sin |cB| = AC_BC ⇐⇒ sin 33, 126◦ ₌ b 5, 82 ⇐⇒ b = sin 33, 126◦· 5, 82 ⇐⇒ b ' 3, 19 cos |cB| = AB_BC ⇐⇒ cos 33, 126◦ = C 5, 82 ⇐⇒ c = cos 33, 126 ◦_{· 5, 82} ⇐⇒ c ' 4, 87 | bC| = 90◦− 33◦130= 56◦470 2. |cB| = | bC| =180 ◦_{− 46}◦ 2 = 134◦ 2 = 62 ◦ AB = AC BH = HC = BC 2 = 7, 1 2 = 3, 55cm • Le triangle ABH est rectangle en H:

cos | bB| = BH_AB ⇐⇒ AB · cos | bB| = BH ⇐⇒ AB = BH cos | bB| ⇐⇒ AB =_{cos 67}3, 55_◦ ⇐⇒ AB ' 9, 09cm

AB = AC ' 9, 09cm

• Le triangle ABH est rectangle en H:

tan | bB| = AH_BH ⇐⇒ AH = tan | bB| ⇐⇒ AH = tan 67◦· 3, 55 ⇐⇒ AH ' 8, 36cm

• Le triangle ABC est isocèle =⇒ CG = BF. • Le triangle BCG est rectangle en G:

sin | bB| = CG_BC ⇐⇒ sin | bB| · BC = CG ⇐⇒ CG = sin 67◦ _{· 7, 1}

⇐⇒ CG ' 6, 54cm

• Le triangle CF B est rectangle en F :

sin | bC| = BF_BC ⇐⇒ sin | bC| · BC = BF ⇐⇒ BF = sin 67◦ · 7, 1 ⇐⇒ BF ' 6, 54cm

3. Soit H le milieu de [AB]. OAB est un triangle isocèle:

OH = BC 2 = 4 2= 2 AH = 6 2= 3 tan | dAOH| = AH_OH = 3 2= 1, 5 ⇐⇒ | dAOH| = 56, 31 ◦

| dAOB| = 2 · | dAOH| ' 112, 62◦ _{= | dCOD|}

| dBOC| = 180◦ −112, 62◦ ' 67, 38◦ = | dDOA|

4. Soit H le point d’intersection de la hauteur issue de A et du côté [BC]. Soit O le point d’intersection des 3 hauteurs.

cos 30◦ ₌ a 2 OB ⇐⇒ OB · cos 30 ◦ ₌ a 2 ⇐⇒ a = 2 · OB · cos 30 ◦ ⇐⇒ a = 2 · OB · cos 30◦_{⇐⇒ a ' 7, 27cm}

5. Soit H le point d’intersection de la hauteur issue de C et du côté [AB]. Soit O le point d’intersection des 3 hauteurs.

AH = AB 2 = 6 2 = 3 tan 60◦ ₌ CH HB ⇐⇒ CH = tan 60◦ · HB ⇐⇒ CH = tan 60◦ · 3 ⇐⇒ CH ' 5, 20cm Rayon: cos 30◦ ₌ AH OA ⇐⇒ OA · cos 30◦ = AH ⇐⇒ OA = AH cos 30◦ ⇐⇒ OA = _{cos 30}3 _◦ ⇐⇒ OA ' 3, 46cm 6. (a) 42◦1704300= 42, 29527◦ (b) 23, 56◦ = 23◦3303600 (c) 46◦₂₉0₁₂00_{= 46, 486}◦ sin(46◦₂₉0₁₂00_{) = sin(46, 486}◦_{) ' 0, 72}

(Saisie des solutions: Yasin ÖZEN, IIe_{C 5, LCD)}