Espace projectif complexe P n (C)

Espace projectif complexe P ⁿ (C)

A. Lesfari

Département de Mathématiques Faculté des Sciences

Université Chouaïb Doukkali B.P. 20, El-Jadida, Maroc.

E. mail : lesfariahmed@yahoo.fr

L'espace projectif complexe

Pⁿ(C) = {droites dans Cⁿ⁺¹},

= ©

[Z₀ :...:Z_n] : (Z₀, ..., Z_n)∈Cⁿ⁺¹\{0}ª ,

est l'ensemble des droites vectorielles complexes passant par l'origine de coor- données dansCⁿ⁺¹ où[Z₀ :...:Z_n] désigne la droite engendrée par le vecteur.

La topologie sur l'espace Pⁿ(C) est la topologie quotient déterminée par la surjection

Cⁿ⁺¹\{0} −→Pⁿ(C), (Z₀, ..., Z_n)7−→[Z₀ :...:Z_n].

L'espace topologique Pⁿ(C) est séparé et compact. En outre, il est recouvert par n+ 1 ouverts U₀, ...,U_n où

Ui ={[Z0 :...:Zn]∈Pⁿ(C) :Zi 6= 0},

l'ensemble des droites pour lesquelles Z_i 6= 0. Considérons, pour i = 0, ..., n, l'application (coordonnée locale dansU_i),

ϕ_i :U_i −→Cⁿ, [Z₀ :...:Z_n]7−→

µZ₀

Z_i, ...,Z_i−1 Z_i ,Z_i+1

Z_i , ...,Z_n Z_i

¶

≡(z₁, ..., z_n), avec

z_k =





 Z_k−1

Z_j si k ≤j Zk

Z_i si k > j (0.1)

où1≤ k ≤n. Il est évident que ϕ_i(U_i) =Cⁿ. L'applicationϕ_i est un homéo- morphisme ; l'homéomorphisme inverse étant donné par

(z₁, ..., z_n)7−→[z₁, ...z_i,1, z_i+1, ..., z_n].

1

A. Lesfari 2 Donc Pⁿ(C) est une variété topologique de dimension n et le couple (U_i, ϕ_i), 0≤i≤n, est une carte surPⁿ(C). Comme

U_i∩ U_j ={[Z₀ :...:Z_n]∈Pⁿ(C) :Z_i 6= 0 et Z_j 6= 0}, i6=j alors (pour j > i),

ϕ_i(U_i∩ U_j) ={(z₁, ..., z_n)∈Cⁿ:z_j 6= 0}, et

ϕj(Ui∩ Uj) ={(z1, ..., zn)∈Cⁿ :zi+1 6= 0}.

Les applications de transitions sont dénies par

ϕji ≡ϕjϕ⁻¹_i :ϕi(Ui∩ Uj)−→ϕj(Ui∩ Uj), (z₁, ..., z_n)7−→

µz₁

z_j, ...,cz_j z_j, ..., 1

z_j, ...,z_n z_j

¶

, z_j 6= 0 où le signebsignie à omettre. Pour ϕij ≡ ϕiϕ⁻¹_j , il sut de permuter les indices. On voit bien que les applicationsϕ_ji etϕ_ij sont analytiques. Les cartes (U_i, ϕ_i),(U_j, ϕ_j)sont donc deux à deux compatibles et commeS_n

i=0U_i =Pⁿ(C), elles forment un atlas. Par conséquent,Pⁿ(C) est une variété analytique. Par exemple, pour n = 1, on obtient la droite projective complexe ou sphère de Riemann P¹(C) =C∪ {∞}. On a

Ui = P¹(C)\{∞}=C,

U_j = P¹(C)\{0}=C^∗∪ {∞},

ϕ_i : U_i −→C, application identique, ϕi : Uj −→C, z 7−→ϕj(z) =

( 1

z si z ∈C^∗ 0 si z =∞

Les applications ϕ_i etϕ_j sont des homéomorphismes. Notons que puisque U_i, Uj sont connexes et que Ui∩ Uj 6=∅, alors P¹(C) est aussi connexe et

ϕ_i(U_i∩ U_j) = ϕ_j(U_i∩ U_j) =C^∗, ϕ_jϕ⁻¹_i :C^∗ −→C^∗, z 7−→ 1

z,

est une application biholomorphe. En utilisant la projection stréographique S² −→C∪ {∞}, (z₀, z₁, z₃)7−→





z0+√

−1z2

1−z₃ siz 6= 1

∞ siz₃ = 1

A. Lesfari 3

où

S² ={(z0, z1, z3)∈C³ :|z0|²+|z1|²+|z2|²},

est la sphère unité de C³, tout en comparant avec les coordonnées locales étudiées précédemment, on montre queP¹(C) est diéomorphe à S².

Une autre description de l'espace projectif complexePⁿ(C)peut-être faite en le dénissant comme l'ensemble quotient deCⁿ⁺¹\{0}par la relation d'équi- valence

[Z₀ :...:Z_n]∼[λZ₀ :...:λZ_n], λ∈C^∗. On écrit aussi

Pⁿ(C) = {[Z]6= 0∈Cⁿ⁺¹} [Z]∼[λZ] . Soit

H_i ={[Z₀ :...:Z_n]∈Pⁿ(C) :Z_i = 0},

l'hyperplan de Pⁿ(C) d'équation Z_i = 0, 0 ≤ i ≤ n. C'est un sous-espace projectif de dimensionn−1. L'application

ϕi :Pⁿ(C)\Hi −→Cⁿ, [Z0 :...:Zn]7−→

µZ₀

Z_i, ..., Z_i−1 Z_i ,Z_i+1

Z_i , ...,Z_n Z_i

¶ , montre quePⁿ(C)\H_iest naturellement isomorphe àCⁿ. Posons

Ui =Pⁿ(C)\Hi ={[Z0 :...:Zn]∈Pⁿ(C) :Zi 6= 0}.

CommeH_i est un fermé, alors son complémentaire U_i est un ouvert. On mu- nit Pⁿ(C) de la topologie quotient de celle de Cⁿ⁺¹\{0}, i.e., qu'un sous- ensemble de Pⁿ(C) est fermé ou ouvert si et seulement si son image inverse par la projection Cⁿ⁺¹\{0} −→ Pⁿ(C) l'est. En outre, l'application ϕ_i est un homéomorphisme. Dès lors, un ensemble explicite de cartes sur Pⁿ(C) est fourni par(U_i, ϕ_i). Les coordonnéesz_k (12.0.1) sont les coordonnées anes sur U_i = Pⁿ(C)\H_i. Chaque H_i est isomorphe à Pⁿ⁻¹(C) (il sut d'omettre la i-ème coordonnée). On a

Pⁿ(C) = {[Z₀ :...:Z_n]∈Pⁿ(C) :Z_i 6= 0} ∪ {[Z₀ :...:Z_n]∈Pⁿ(C) :Z_i = 0},

= U_i∪H_i,

= (Pⁿ(C)\H_i)∪H_i, ' Cⁿ∪H_i.

Notons queT_n

i=0Hi =∅car aucun point[Z0 :...:Zn]n'a toute ses coordonnées homogènesZ_i égales à zéro. Dès lors,

[n

i=0

U_i = [n

i=0

(Pⁿ(C)\H_i) =Pⁿ(C).

(en eet, soitξ∈Pⁿ(C), siZ0, ..., Znest un système de coordonnées homogènes deξ, alors il existei tel que :Z_i 6= 0 etξ ∈ U_i). On a un ensemble explicite de cartes dénissant Pⁿ(C) comme étant l'union de(n+ 1) copies de Cⁿ.