(1)Probabilité qu’une matrice deMn(Fq)soit nilpotente Soientn>1 etX ∈ Mn(Fq)une matrice uniformément aléatoire

Probabilité qu’une matrice deMn(Fq)soit nilpotente

Soientn>1 etX ∈ Mn(Fq)une matrice uniformément aléatoire.

Théorème 1. P(X est nilpotente) =q⁻ⁿ.

Notonsan(q) :=|N(Fqn)|le nombre de matrices nilpotentes d’ordrensurFq.

Lemme 2. Soient kun corps, E unk-ev de dimension finien etu∈ L(E). Il existe un unique couple(V, W) de sous-espaces vectorielsu-stables tel que :

(i) E=V ⊕W, (ii) uV ∈N(V), (iii) uW ∈GL(W).

Définition 3. Les sous-espacesV etW sont respectivement appelésnilespaceetcœurdeu.

Preuve. Existence. Soitm∈Nla valuation deXdans le polynôme minimalπudeu∈ L(E): il existeQ∈k[X] tel que πu = X^mQ avec Q(0) 6= 0. D’après le lemme des noyaux E = Keru^m⊕KerQ(u). En particulier, dim KerQ(u) =n−dim Keru^m = dim Imu^m grâce à la formule du rang. Orπu(u) =Q(u)◦u^m= 0, donc Imu^m⊆KerQ(u). FinalementKerQ(u) = Imu^m, d’où

(i) E= Keru^m⊕Imu^m,

et il est clair que V := Keru^m et W := Imu^m sont des sous-espacesu-stables. Soientϕ:=uV et ψ :=uW. Alors :

(ii) ϕ∈N(V): pour toutx∈V = Keru^m,ϕ^m(x) =u^m(x) = 0doncϕ∈N(V), (iii) ψ∈GL(W):Kerψ= Keru∩Imu^m⊆Keru^m∩Imu^m={0}.

Unicité. Soit(V, W)un couple satisfaisant (i), (ii) et (iii). Notons encoreϕ:=uV et ψ:=uW. Soitml’indice de nilpotence deϕ. Tout élément xdeE s’écrit de manière uniquex=v+woù(v, w)∈V ×W. Pour tout i∈N,

uⁱ(x) =ϕⁱ(v)

| {z }

∈V

+ψⁱ(w)

| {z }

∈W

,

donc

x∈Keruⁱ ⇐⇒ ϕⁱ(v) = 0et ψⁱ(w) = 0,

⇐⇒ ϕⁱ(v) = 0et w= 0,

⇐⇒ x∈Kerϕⁱ

et en particulierKeru^m= Kerϕ^m=V. Aussi,Imu^m= Imϕ^m⊕Imψ^m={0} ⊕W =W. Corollaire 4. NotonsT(E) :={(V, W, ϕ, ψ)|E=V ⊕W, ϕ∈N(V), ψ∈GL(W)}. L’application

L(E)−→ T(E)

u7−→(V, W, uV, uW)

est une bijection.

Lemme 5. Tout evV de dimensionj surFq admetbj(q) := (q^j−1)(q^j−q)· · ·(q^j−q^j−1)bases, et donc aussi bj(q)automorphismes.

Démonstration. Il y a |V \ {0}|=q^j−1 choix pour le premier vecteur de base. Puisque tout vecteur de base ne doit pas être dans le sous-espace engendré par les précédents, il resteq^j−qchoix pour le deuxième vecteur, q^j−q² choix pour le troisième, et ainsi de suite, jusqu’àq^j−q^j−1 choix pour le dernier vecteur. Enfin, si l’on fixe une base(v1, . . . , vj)deV, se donner un automorphisme deV revient à choisir la base-image de(v1, . . . , vj).

Le nombre de bases deV est donc|GL(V)|=bj(q).

Démonstration du théorème 1. Soit pour tout 06j6n, Tj(Fqn

) :={(V, W, ϕ, ψ)∈ T(Fqn

)|dimV =j},

de sorte que T(Fqn

) = Gn

j=0

Tj(Fqn

). (⋆)

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Probabilité qu’une matrice deMn(Fq)soit nilpotente

Calculons|Tj(Fqn)|. Se donner(V, W, ϕ, ψ)∈ Tj(Fqn), c’est choisir(V, W)en somme directe tel quej= dimV = n−dimW, un élément deN(V)et un élément deGL(W). Or l’application

{ bases deFqn

} −→ {(V, W)|Fqn

=V ⊕W, dimV =j}

(e1, . . . , en)7−→(Vect(b1, . . . , bj),Vect(bj+1, . . . , bn))

est surjective, et chaque image admetbj(q)bn−j(q)antécédents. D’où, d’après le lemme des bergers,

|Tj(Fqn)|= bn(q)

bj(q)bn−j(q)×aj(q)×bn−j(q),

= bn(q) bj(q)aj(q).

Finalement qⁿ² =|L(Fqn

)|

=|T(Fqn

)| (d’après lecorollaire 4)

= Xn

j=0

|Tj(Fqn

)| (d’après (⋆))

= Xn

j=0

bn(q) bj(q)aj(q),

et sin>1, P(X est nilpotente) =an(q)q⁻ⁿ²

= 1−q⁻ⁿ² bn(q) bn−1(q)

n−1

X

j=0

bn−1(q) bj(q) aj(q)

= 1−q⁻ⁿ² bn(q)

bn−1(q)q⁽ⁿ⁻¹⁾²

= 1−q⁻ⁿ²qⁿ⁻¹(qⁿ−1)q⁽ⁿ⁻¹⁾²

=q⁻ⁿ.

Références. [Tos]

106 Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finieE, sous-groupes deGL(E). Applications.

123 Corps finis. Applications.

151 Dimension d’un espace vectoriel. Rang. Exemples et applications.

153 Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Ap- plications.

157 Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

190 Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

264 Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.

[Tos] NicolasTosel: Quelques dénombrements dansMn(Fq). In Revue de la Filière Mathématiques, numéro 117–1.

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