Correction Devoir surveillé N°1 Electromagnétisme 2005/2006
Exercice N°1
1. Déterminons la direction du champ électrique en utilisant les règles de symétrie : Comme le cylindre est supposé infini ( h>>b) ; les plans (ez,e) et (e,e) sont deux plans de symétrie, donc le champ est dirigé suivant l’intersection de ces deux plans soit E Ee
Déterminons les coordonnées dont dépend le champ électriques :
Le système est invariant par rotation autour de Oz donc E ne dépend pad de
Le système est invariant par translation suivant Oz donc E ne dépend pad de z Donc : E E()e
2. On a d’après les relations de continuité : E1t E2t
Or au voisinage de la surface de séparation entre le diélectrique est le vide, le champ électrique se réduit a sa composante tangentielle c-à-d E Et. Comme cette composante est continue donc Evide Ediélectrique
3. Comme on a un mélange de charge libre et de charge de polarisation, pour calculer le champ électrique, il est plus simple de déterminer d’abord le champ D qui ne dépend que des charge s libres :
on a :
DdS
QlibreSurface de Gauss est un cylindre de hauteur h et de rayon r ( a < r < b ). On a donc :
DdS videDdS diélectriqDdSue vide0EdS diélectrique1EdS
Car E est le même dans les deux milieux. (N.B le calcul de l’intégrale se fait sur la moitié d’un cylindre)
Donc :
DdS 0Erh1ErhLa charge libre intérieur à la surface de Gauss est : Qlibre v ah ld ah
l
Avec ld est la densité de charge libre la moitié qui contient le diélectrique.
v
l est la densité de charge libre la moitié qui contient le vide.
Donc :
r E a
d l v l
) (
) (
1
0
Déterminons E en fonction de U, a et b, pour cela calculons la circulation de E entre les deux conducteurs :
) ) ln(
(
) (
1
0 a
b U a
Edr U b
a
d l v
l
D’où e a r b E U
) ln(
4. Expression de la polarisation :
Dans le vide P = 0
Dans le diélectrique : e
a r b E U
P
) ln(
) (
)
( 1 0 1 0
Expressions du vecteur déplacement électrique :
Dans le vide : e a r b Dv U
) ln(
0
Dans le diélectrique : e a r b Dd U
) ln(
1
5. Densité de charge de polarisation :
Surface r = a : dans le vide p 0
Dans le diélectrique ( 1 0) ln( ) a a b
U
p
Surface r = b: dans le vide p 0
Dans le diélectrique ( 1 0) ln( ) a b b
U
p
6. La somme des charges de polarisation :
0
ra pdS
rb pdSQp
Exercice N°2
1) Calcul du vecteur excitation magnétique :
On a dans ce cas un mélange de courant libre et de courant d’aimantation mais la circulation de H ne dépend que des courants libres.
Direction de H : On utilise les règles de symétrie : Tout plan (ez,e) est un plan de symétrie donc H He
0 2
/ /2 2
2 /
0 2
/
H a
R r
H NI a
R r a R I
Hdr
H a
R r
libre
2) En déduire B :
0 2
/ /2 2
2 /
0 2
/
B a
R r
B NI a
R r a R H B
B a
R r
En déduire l’aimantation M. Comme le milieu est un ferro doux, on a H
H
M (r 1)
0 2
/
2 ) 1 2 (
/ 2
/ )
1 (
0 2
/
M a
R r
M NI a
R r a R H M
M a
R r
r
r
3) Soit I’ le courant qui fournit le même champ si le ferro est remplacé par le vide, on aura donc :
I I
I I NI I
NI
r 3
0 0 ' ' 10
2 '
2
4) Calcul de l’énergie magnétique du torre :
On a 2 2 ln( //22)
2 2 2
a R
a R h I d N
Wmag B
5) Déterminons l’expression du champ magnétique dans la coupure
Comme la circulation de H ne dépend que des courants libres et on a dans le ferro
H B et dans le vide
0
H B
Donc :
(2 ) (2 1)
0 1 1
1
0 l R l
B NI NI l B R
B l NI
Hdl
Exercice 3
1) Densités de charges de polarisation surfacique On a p P.nP
2) a) Expression du potentiel crée par un dipôle élémentaire :
2 0
. 4
1 r
u p dV d
b) on a dS PJ
r P u
r dS u
V P .
4 . 1 .
4 1
2 0 2
0
avec J
ru2 dS4 0
1
c) J est un champ électrique fictif crée par un plan charge avec une densité de charge uniforme 1
d’où le calcul de J se déduit facilement par le th de Gauss : J k 0 2
1
3) a) En déduire V
On a
0
0 2
. 2
np J P
P
V
b) on a E gradV 0
c) Le plan polarisé est équivalent à un condensateur plan chargé avec une densité
P n
p P.
. Or le champ à l’extérieur d’un condensateur plan infini est nul, ceci explique la valeur trouvée.
