Correction DS N°1
Electromagnétisme – 2008/2009 Questions de cours
a) On a B = 0.435 T et H = 3.44 105A/m la perméabilité pour un milieu linéaire est
H
B
soit
1.26 106H /m b) Calcul de la susceptibilité du matériau :
on a B M
H
0 et M H d’où 3
0
10 3 1
c) La susceptibilité est faible et positive, donc le milieu est paramagnétique.
Exercice 1
Soit un cylindre polarisé avec P Pex . 1) a) Densités de charge de polarisation :
Densité de charge volumique : comme la polarisation est uniforme on a p 0
Densité de charge surfacique :
Pour la surface latérale, on a ne donc p P.nPex.e Pcos
b) Le potentiel crée par le dipôle dp est :
2
4 0
. r u dVp dp
soit :
d r u dVp P 2
4 0
.
Comme P est uniforme, donc d PEs
r P u
r d u
Vp P .
. 4 4
.
2 0 2
0
c) Es
ur2 d4 0 est un champ électrique fictif crée par le cylindre chargé en volume avec une densité volumique 1
2) a) Calcule de Vp :
À l’intérieur du cylindre :
Pour déterminer Vp, il faut d’abord calculer Es en utilisant le théorème de Gauss.
Direction de Es : les plans (e,ez) et (e,e) sont deux plans de symétrie, donc Es est porté par l’intersection de ces deux plans. Soit Es Ese
Variable dont dépend Es : Le cylindre est invariant par rotation autour de Oz et par translation suivant Oz ( on suppose le cylindre très long) donc Es Es()e
Appliquons alors le théorème de Gauss sur un cylindre de hauteur h et de rayon R On a
0
. int
dS Q Es
Le flux à travers les surfaces de Base = 0 car dSEs
Le flux à travers la surface latérale est
Es.dS Es2hLa charge interne à la surface de Gauss est r2h Donc : Es r e
2 0
De même pour r > R e
r Es R
0 2
2 Donc :
2 cos .
2 cos . Pr
0 02
r E PR P V R r
E P V R r
s p
s p
b) Le champ électrique crée par le cylindre polarisé est :
e r e
V PR grad E
R r
V P grad E
R r
r p p
p p
sin 2 cos
2
0 2
2 0
c)
Le plan (Oz,Oy) est un plan d’antisymétrie, donc le champ Ep est suivant Ox.
2) A l’intérieur du cylindre, on a
20
Ep P
Or E E0Ep et P0E d’où P E 2 2 0
Exercice 2
1)
Pour un fil infini dirigé suivant oz , les règles de symétries suivantes : Direction de B Tout plan (e,ez) est un plan de symétrie, donc B est suivant
e
Variables dont dépend B : Le fil infini est invariant par translation suivant Oz et par rotation autour de Oz , donc B ne dépend que de r
Soit : B(r,,z) B(r)e
2)
Pour déterminer le module de B, utilisant le théorème d’Ampère. Comme B est suivant e , on choisit comme contour d’intégration un cercle de rayon r Le théorème d’Ampère donne :+ +
+
+ + +
+ +
+ -
-
- - - -
P
Ep Oy
-
Ox
r B I
I r B I dl B
2 2 .
0 0 0
N.B. r est la distance entre le point ou on calcule le champ et le fil parcouru par I
3)
Le potentiel vecteur se déduit par la relation B rotALe plan (Ox, Oy) est un plan d’antisymétrie, donc A est suivant Oz, de même A ne dépend que de r
Donc : ( , , ) ( ) 0 0
dz d d et d A
A k r A z r
A r
N.B. c est important d’utiliser les règles de symétrie avant de calculer rotA Car rotA se réduit à e
dr
dA
Donc :
e r e I
dr B dA A
rot 2
0
D’où I rk
A ln
2
0
4)
a) La distance entre le premier fil infini et le point ou on calcul le champ est x + r2La distance entre le deuxième fil infini et le point ou on calcul le champ est x + r1
en tenant compte du sens du courant, le champ ou point M est alors : 1 )
( 1 ) 2
(
1 2
0 2
1 r x r x
B I B x
B
b) Déterminons le flux envoyé par les deux fils à travers la boucle.
On a
B.dSN.B . Le champ dépend de x.
On a dS = dxdz donc B(x)dxdz 2 I (r 1 x r 1 x)dxdz
1 2
0
Avec x varie entre 0 et a
Donc 2 (ln ln )
1 1 2
2 0
r a r r
a r
Ia
c) La force électromotrice induite dans la boucle est
dt ed
Soit : 2sin( ) (ln ln )
1 1 2
2 0
0
r a r r
a r a t
e I
5)
En utilisant les résultats de la question 3, le potentiel crée par les deux fils est alors : )2 ln(
)
2 ln( 1
0 2
0 I r x
x I r
A
6)
Le champ de Neumann se déduit par la relationdt A Em d
Soit I r x r x t k
Em [ln( ) ln( )]sin( )
2 2 1
0
7)
La f.e.m induite dans la boucle se déduit à partir de la circulation du champ électromoteur calculé le long de la boucle carrée.Comme le champ électromoteur est suivant Oz, la circulation suivant MN ET QP est nulle
Donc : e E dl E dl E dl a[Em(x 0) Em(x a)]
N
P m M
Q m
m
Soit : 2sin( ) (ln ln )
1 1 2
2 0
0
r a r r
a r a t
e I
