Universit´e de Bordeaux, Licence 3 16/03/2016.
Probabilit´es DS
dur´ee 1h30 - la calculatrice Casio coll`ege est autoris´ee.
On justifiera proprement tous les calculs. Le barˆeme est indicatif.
E
XERCICE1.
(10 points) Les parties A et B sont ind´ependantes.On rappelle que la densit´e d’une variable al´eatoire de loi exponentielleE(λ)avec λ>0 est donn´ee par:
f(t) =
λe−λt sit≥0 0 sit<0
Partie A:(6 points) SoitX une variable al´eatoire de loiE(λ)avecλ >0.
1) Montrer que pour t >0 , P(X ≥t) =e−λt, puis que X v´erifie la propri´et´e d’absence de m´emoire; c’est-`a-dire que pours,t>0, on a
P(X>t+s|X>t) =P(X>s).
La loi exponentielle est souvent utilis´ee pour mod´eliser l’instant de premi`ere panne d’une machine. Dans certaines situations, il est plus r´ealiste de mod´eliser cette dur´ee de vie par une loi de Weibull. On dit queY suit la loi de WeibullW(a,λ)aveca>0 etλ >0 siY=X1/apourXune certaine variable al´eatoire de loiE(λ).
2) Soita≥1. Montrer que pour touts,t≥0, on a (t+s)a≥sa+ta.
3) SoitY une variable al´eatoire de loi de WeibullW(a,λ)aveca≥1 etλ >0.
Montrer que pour touts,t≥0, on a
P(Y>t+s|Y>t)≤P(Y >s).
On admettra que siYsuit une loi de WeibullW(a,λ)avec 0<a≤1 etλ>0, pour touts,t≥0, on a
P(Y>t+s|Y>t)≥P(Y >s).
4) On cherche `a mod´eliser la dur´ee de vie d’une machine par une loi de Weibull W(a,λ). On consid`ere que la panne de la machine provient d’une usure m´ecanique.
Vaut-il mieux prendrea≥1 oua≤1?
5) ExprimerE[Y]`a l’aide de la fonction d’Euler d´efinie pourt>0 par:
Γ(t) = Z +∞
0
xt−1e−xdxpourt>0 et des param`etresaetλ.
1
Partie B:(4 points) SoitXune variable al´eatoire de loiE(λ)avecλ >0.
1) On poseY=1+ [X]o`u[X]d´esigne la partie enti`ere deX. On rappelle que[x]
d´esigne l’unique entier tel que[x]≤x<[x] +1. Montrer queYsuit une loi g´eom´etrique dont on pr´ecisera le param`etre.
2) On suppose ici que X suit une loi exponentielle E(λ) (λ >0) et Z une loi g´eom´etrique de param`etrep(0<p<1) et queX etZsont ind´ependantes. Calculer P(X≥Z).
E
XERCICE2.
(4 points) Deux joueurs s’affrontent au jeu de pile ou face. Chacun lancenfois une pi`ece ´equilibr´ee. On noteX le nombre de piles obtenu par le joueur 1 etY celui obtenu par le joueur 2.1) En s´eparant l’ensemble {1,2, . . . ,2n} en deux sous-ensembles, justifier (avec une phrase) que
2n
n
=
n k=0
∑
n k
n
n−k
.
2) Quelle est la loi deX? Justifier rapidement. Donner (sans d´emonstration) son esp´erance et sa variance.
3) CalculerP(X=Y).
E
XERCICE3.
(6 points) On dispose de 3 pi`eces. La premi`ere est ´equilibr´ee. La deuxi`eme a une probabilit´ep2=3/4 de tomber sur pile et la troisi`eme une probabilit´e p3=1/4 de tomber sur pile.On fait une premi`ere exp´erience: on choisit une pi`ece “au hasard” puis on lance 1 fois la pi`ece choisie.
1) Quelle est la probabilit´e d’obtenir pile?
On r´ealise maintenant une nouvelle exp´erience: on choisit toujours une pi`ece “au hasard” puis on lance 3 fois d’affil´ee la pi`ece choisie. On observe la s´equencePFP.
2) Quelle est alors la probabilit´e d’avoir choisi la pi`ece 2 pour effectuer les lancers?
3) On effectue alors un lancer suppl´ementaire. Quelle est la probabilit´e d’observer pile? Commenter le r´esultat par rapport `a la question 1.
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