Exercice 1. On consid`ere le jeu suivant : on lance un premier d´e `a 6 faces et on note s1 le r´esultat du d´e. Si s1 est pair, on lance un deuxi`eme d´e `a 6 faces et on note s2 le r´esultat. Si s1 est impair, on impose s2 = 0 sans lancer le deuxi`eme d´e. Le r´esultat du jeu est le couple (s1, s2) des deux scores.
(a) Quel est l’ensemble fondamental Ω correspondant `a cette exp´erience ? (b) Les ´ev´enements ´el´ementaires de Ω sont-ils ´equiprobables ?
(c) Soit A l’´ev´enement “le deuxi`eme score (c’est-`a-dire s2) est ´egal `a 6”. Quelle est la probabilit´e de A?
(d) Soit B l’´ev´enement “au moins un des deux scores est ´egal `a 6”. Quelle est la prob- abilit´e de B?
(e) SoitC l’´ev´enement “les deux scores sont ´egaux `a 6“. Quelle est la probabilit´e deC, lorsque que B est r´ealis´e ?
Exercice 2. Il vous semble que l’homme devant vous au contrˆole de s´ecurit´e de l’a´eroport pourrait ˆetre un terroriste. On estime que une personne sur 106 est un terroriste, et que lorsqu’un terroriste passe le contrˆole, il est d´etect´e par l’alarme avec une probabilit´e de 0.9999. N´eanmoins l’alarme du contrˆole de s´ecurit´e n’est pas parfaite : lorsqu’une personne ordinaire passe le contrˆole, l’alarme sonne avec une probabilit´e de 10−5 (on parle alors de ’fausse alarme’).
(a) D´ecrire l’´enonc´e en termes d’´ev´enements et de probabilit´es.
(b) L’alarme sonne quand l’homme passe le contrˆole. Quelle est la probabilit´e qu’il soit un terroriste ?
(c) Discuter les performances de l’alarme : l’utilisation de l’alarme comme contrˆole de s´ecurit´e est-elle satisfaisante pour classer les individus en terroriste/non terror- iste ? Si non, quelle(s) probabilit´e(s) faudrait-il changer pour am´eliorer ses perfor- mances ?
Exercice 3. Arnaud et Boris jouent au jeu suivant : `a chaque tour de jeu, le joueur dont c’est le tour lance deux pi`eces non ´equilibr´ees, chaque pi`ece ayant une probabilit´e 1/3 de tomber sur pile. Si les deux pi`eces tombent sur pile, ce joueur a gagn´e. Sinon on passe au tour suivant et c’est `a l’autre joueur de jouer. Arnaud commence `a jouer au premier tour. On note X le nombre de tours effectu´es jusqu’`a ce que le jeu s’arrˆete.
(a) A un tour donn´e, quelle est la probabilit´e que le joueur dont c’est le tour gagne ? (b) Donner la fonction de masse de X.
(c) Quelle est la probabilit´e que Arnaud gagne ?
(d) Quelle est la meilleure strat´egie `a adopter : vaut-il mieux commencer `a jouer ou jouer en deuxi`eme ?
Exercice 4. La dur´ee de vie d’un syst`eme, en ann´ees, est une variable al´eatoire continue de fonction de densit´e
f(x) =
c x−3, x≥1,
0, x <1.
(a) Calculer la fonction de r´epartition de la dur´ee de vie du syst`eme.
(b) Quelle est la probabilit´e que le syst`eme fonctionne encore apr`es deux ans ?
(c) Le syst`eme fonctionne encore apr`es deux ans. Quelle est la probabilit´e qu’il survive au moins deux ann´ees de plus ?
(d) Quelle est la dur´ee de vie moyenne du syst`eme ?
(e) Calculer le quantile 0.95 de la dur´ee de vie du syst`eme. Expliquer par une phrase simple ce que cela signifie.
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