Enonc´e noG123 (Diophante)
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Je rep`ere de 0 `a 31×24×12 = 8928 les instants, espac´es de 5 minutes, du 1er mars 0 heure au 1er avril 0 heure.
J’´etiquetteA, B, C, D, E, F, G, H, I les pi`eces selon le sch´ema suivant.
A B C
D E F
G H I
Je note par les minuscules correspondantes a, b, c, d, e, f, g, i, indic´ees par l’instant consid´er´e, les probabilit´es de pr´esence de Bidule dans chacune des pi`eces.
Je peux peindre les pi`eces en deux couleurs sans que deux pi`eces de mˆeme couleur communiquent directement, car le graphe des communications entre pi`eces est un arbre : si A, C, E, G, I sont peintes en rouge etB, D, F, H en bleu, chaque mouvement fait changer de couleur et Bidule, partant de E, sera dans une pi`ece rouge aux instants pairs et dans une pi`ece bleue aux instants impairs.
Ainsi la probabilit´e que Bidule soit dans le vestibule le 31 mars `a 23h55 est e8927 = 0.
Chaque changement de pi`ece ob´eissant au hasard, la situation des portes d´etermine les relations suivantes entre les probabilit´es aux instantstett+ 1.
at+1 =bt/3,
bt+1 =at+ct+et/4, ct+1 =bt/3,
dt+1=et/4,
et+1=bt/3 +dt+ft+ht/3, ft+1 =et/4,
gt+1 =ht/3,
ht+1=et/4 +gt+it, it+1=ht/3.
La situation initiale est sym´etrique : e0 = 1, les autres probabilit´es ´etant nulles. On montre ais´ement que la distribution des probabilit´es de pr´esence reste sym´etrique :
a=c=g=i, b=h, d=f.
En effetat+1−ct+1 = 0,gt+1−it+1= 0, dt+1−ft+1 = 0, bt+1−ht+1 = 2(at−gt) = (2/3)(bt−1−ht−1),
r´ecurrence qui conduit `a = 0 quetsoit pair ou impair.
On peut donc ne garder que les variables a, b, d, e, avec les relations at+1 =bt/3,
bt+1 = 2at+et/4,
1
dt+1=et/4, et+1= 2bt/3 + 2dt. On en tire
et+2= (4/3)at+ (1/6 + 1/2)et, soitat= (3/4)et+2−et/2, at+2 = (2/3)at+et/12,
(3/4)et+4−et+2/2 =et+2/2−(1/3)et+et/12, et finalement
et+4= (4/3)et+2−et/3.
Cette r´ecurrence a pour valeurs initiales (pourtpair, seul cas int´eressant) e0 = 1, e2 = (4/3)a0+ (2/3)e0 = 2/3.
L’´equation caract´eristique admet les racines 1 et 1/3, donc et+4−et+2/3 =et+2−et/3 =e2−e0/3 = 1/3,
(et+4−et+2)3t/2+1= (et+2−et)3t/2 =e2−e0 =−1/3.
On en tire et = (1 + 3−t/2)/2, et la probabilit´e que Bidule soit dans le vestibule le 1er avril `a 0 heure est
e8928= 1 + 3−4464 2
2
