www.etude-generale.com 2BAC PC-SVT Matière : Mathématiques
Professeur : Yahya MATIOUI
Suites Numériques
Rappel (1ère S)
Suites majorées, minorées et bornées
Dé…nition 1 .
La suite(un)n2N est majorée s’il existe un réelM tel que pour tout entiern 2N; un M:
La suite(un)n2N est minorée s’il existe un réel m tel que pour tout entier n 2N; un m:
La suite (un)n2N est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
Remarque 2 .
Les suites de terme général cosn ou ( 1)n sont bornées.
La suites de terme général n2 est minorée par0:
Exemple 3 Soit (un)n2N la suite numérique dé…nie par : (8n 2N); un= 2 + cosn
3 sinp n Soit n2N:
On a
1 cosn 1 () 1 2 + cosn 3 et
1 sinp
n 1 () 2 3 sinp
n 4 () 1
4
1 3 sinp
n 1 2
donc 1
4
2 + cosn 3 sinp
n 3 2 d’où
(8n 2N); 1
4 un 3 2 ceci signi…e que la suite (un)n2N est bornée.
Sens de variations
Dé…nition 4 Soit (un)n2N une suite numérique.
On dit que (un)n2N est croissante si pour toutn 2N, un+1 un: On dit que (un)n2N est décroissante si pour toutn 2N, un+1 un; On dit que (un)n2N est constante si pour tout n 2N, un+1 =un:
On dit que (un)n2N est monotone si la suite (un)n2N est croissante ou décroissante.
Suite arithmétique, suite géométrique
Suite arithmétique
Dé…nition 5 Une suite (un)n2N est une suite arithmétique s’il existe un nombre r tel que (8n 2N); un+1 un =r
Le nombre r est appelé la raison de la suite.
Propriété 6 Si la suite (un)n2N est une suite arithmétique de raison r alors pour tout (n; p)2N2 :
un=up+ (n p)r et up+up+1+:::+un= (n p+ 1) (up+un) 2
Suite géométrique
Dé…nition 7 On dit que la suite (un)n2N est géométrique s’il existe un réel q tel que : (8n2N); un+1 =q:un
Le nombre q est appelé la raison de la suite.
Propriété 8 Si la suite (un)n2N est une suite géométrique de raison q 6= 1 alors pour tout (n; p)2N2 :
un =up:qn p et up+up+1+:::+un=up:1 qn p+1
1 q (n p)
Limite d’une suite numérique
Suite de limite in…nie
Dé…nition 9 .
On dit que la suite(un)n2N a pour limite +1si tout intervalle de type ]A;+1[oùA 0;
contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang ce qui revient à dire : (8A 0);(9N 2N);(8n N); un 2]A;+1[:
On dit alors que la suite (un)n2N diverge vers +1 et on notera
nlim!+1un= +1 ou limun = +1
On dit que la suite (un)n2N a pour limite 1 si tout intervalle de type ] 1; A[ où A 0; contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang ce qui revient à dire :
(8A 0);(9N 2N);(8n N); un2] 1; A[: On dit alors que la suite (un)n2N diverge vers 1 et on notera
nlim!+1un = 1 ou limun = 1 Exemple 10 On considère la suite numérique (un)n2N dé…nie par :
un =n2 Montrons que : lim
n !+1un = +1: Soit A 0. On a alors :
un 2]A;+1[ () un A () n2 A () n p A Posons N =E p
A + 1; alors N p
A et N 2N: Donc
n N =) n p
A =) n2 A =) un 2]A;+1[: C’est-à-dire
nlim!+1un= +1
Limite in…nie des suites usuelles
Propriété 11 .
nlim!+1
pn= +1; lim
n !+1n = +1; lim
n !+1n2 = +1 Propriété 12 (Admis)
Soit (un)n2N et (vn)n2N deux suites numériques telles que pour tout n 2N: un vn: Si lim
n !+1un= +1, alors lim
n !+1vn= +1: Si lim
n !+1vn = 1, alors lim
n !+1un = 1:
Convergence d’une suite numérique
Dé…nition 13 On dit qu’un réel ` est la limite d’une suite(un)n2N si tout intervalle ouvert centré en ` contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. Autrement dit :
(8" 0); (9N 0); (8n N); jun `j< ":
Et on écrit : lim
n !+1un = +1 ou limun = +1:
Dé…nition 14 On dit qu’une suite numérique est convergente si elle admet une limite réelle.
Dans le cas contraire on dit que la suite est divergente.
Exemple 15 Soit (un)n2N la suite numérique dé…nie par : un = 3n 1
n+ 1 Montrons que : lim
n !+1un = 3:
Soit " 0; pour tout n 2N, on a : jun 3j= 3nn+11 3 = n+14 : Pour avoir jun 3j< ", il su¢ t que : n+14 < ", donc: n 4" 1:
On pose : N = E 4" 1 + 1; d’où N 4" 1 et N 2 N: On a pour tout n N : n 4" 1 :
Donc
(8" 0); (9N 0); (8n N); jun 3j< ":
C’est-à-dire
nlim!+1un= 3:
Remarque 16 Une suite qui est divergente n’admet pas nécessairement de limite in…nie.
Par exemple, la suite de terme générale ( 1)n prend alternativement les valeurs 1 et 1:
Elle n’admet donc pas de limite …nie, ni in…nie. Elle est donc divergente.
Propriété 17 :
La limite d’une suite numérique, lorsqu’elle existe est unique.
Opérations sur les limites
Propriété 18 :
Soit (un)n2N et (vn)n2N deux suites numériques convergentes. Alors : La suite (un+vn)n2N est convergente et de plus : lim
n !+1(un+vn) = lim
n !+1(un) +
nlim!+1(vn):
La suite(unvn)n2N est convergente et de plus : lim
n !+1(unvn) = lim
n !+1(un) lim
n !+1(vn): Si lim
n !+1(vn) 6= 0; alors la suite uvn
n n2N est convergente et de plus : lim
n !+1 un
vn =
n lim!+1(un)
n lim!+1(vn): Exemple 19 .
Soit (un)n2N la suite numérique dé…nie pour tout n 2N par : un= 3 1n+ p4 n:
nlim!+1un= lim
n !+13 lim
n !+1
1
n+ lim
n !+1
p4
n = 3, car: lim
n !+1
1
n = 0 et lim
n !+1
p1 n = 0 Soit (vn)n2N la suite numérique dé…nie pour tout n 2N par : vn = 23npn+72 :
n lim!+1vn = lim
n !+1
2p n+ 7 3n 2
= lim
n !+1
pn 2 + p7n
n 3 n2
= lim
n !+1
2 + p7n
pn 3 n2 = lim
n !+1
p1 n
2 + p7n
3 2n = 0:
Car : lim
n !+1
p1
n = lim
n !+1
2
n = lim
n !+1
p7 n = 0 Soit (wn)n2N la suite numérique dé…nie pour tout n2N par : vn= 27ppnn+37:
nlim!+1vn = lim
n !+1
2pn 7 7p
n+ 3
= lim
n !+1
pn 2 p7n
pn 7 p3 n
= lim
n !+1
2 p7n 7 p3
n
= 2 7
Opérations sur les limites
Limite d’une somme
limun ` ` ` +1 1 +1
limvn `0 +1 1 +1 1 1
lim (un+vn) `+`0 +1 1 +1 1 F.I Limite d’un produit
limun ` ` 0 ` 0 ` 0 ` 0 +1 1 +1 0
limvn `0 +1 +1 1 1 +1 1 1 +1 ou 1
lim (un vn) ` `0 +1 1 1 +1 +1 +1 1 F.I
Limite d’un inverse
limun ` 6= 0 +1ou 1 0 limu1
n
1
` 0 limju1
nj = +1
Exemple 20 Calculer la limite de chacune des suites suivantes dé…nies par :
nlim!+1 n 3p
n ; lim
n !+1
5n2+ 4
4n2+ 3n et lim
n !+1
pn+ 2 p n
nlim!+1n 3p
n = lim
n !+1n 1 3p n n
= lim
n !+1n 1 3
pn = +1: Car: lim
n !+11 3
pn = 1 et lim
n !+1n= +1
nlim!+1
5n2+ 4
4n2+ 3n = lim
n !+1
n2 5 + n42
n2 4 + n32
= lim
n !+1
5 + n42
4 + n32
= 5
4: Car: lim
n !+15 4
n2 = 5 et lim
n !+14 + 3 n2 = 4
nlim!+1
pn+ 2 p
n = lim
n !+1
p 2
n+ 2 +p
n = 0: Car : lim
n !+1
pn+ 2+p
n = +1
Limites et ordre
Propriété 21 :
Soit (un)n2N et (vn)n2N deux suites numériques convergentes. Alors : Si la suite (un)n2N est positive alors : lim
n !+1un 0:
Si un vn à partir d’un certain rang, alors: lim
n !+1un lim
n !+1vn:
Théorème de convergence monotone
Théorème 22 .
Toute suite croissante majorée est convergente.
Toute suite décroissante minorée est convergente.
Exemple 23 On considère la suite(un)n2N dé…nie par : u0 = 0
(8n2N); un+1=p 2 +un Montrons par récurrence que pour tout n 2N: 0 un 2:
Pour n= 0, on a u0 = 0; donc : 0 u0 2:
Soit n2N: Supposons que 0 un 2 et montrons que 0 un+1 2:
0 un 2 =) 2 2 +un 4 =) p
2 p
2 +un 2 =) 0 un+1 2 D’après le principe de récurrence on conclut que:
(8n 2N); 0 un 2 Étudions la monotonie de la suite (un)n2N:
Soit n 2N:
un+1 un = p
2 +un un
=
p2 +un un p
2 +un+un p2 +un+un
= 2 +un u2n p2 +un+un
= u2n+un+ 2 p2 +un+un
= (2 un) (un+ 1) p2 +un+un Comme un 2[0;2]; alors (2p2+uun)(un+1)
n+un 0 pour tout n 2 N; donc un+1 un 0: Ceci signi…e que la suite (un)n2N est croissante et comme elle est majorée par 2, donc elle est convergente.
Propriété 24 .
Tous suite croissante non majorée tend vers +1: Toute suite décroissante non minorée tend vers 1:
Critères de convergence
Existence de la limite par encadremenet
Théorème 25 Soit (un)n2N , (vn)n2N et (wn)n2N trois suites dé…nies sur N: Si à partir d’un certain rang, un vn wnet lim
n !+1un= lim
n !+1wn=`alors lim
n !+1vn=
`: Ce résultat est appelé" Théorème de gendarmes":
Exemple 26 Soit (un)n2N la suite numérique dé…nie par : un=
pn:sinn n+ 1 Soit n2N:
1 sinn 1 =) p
n p
n:sinn p n =)
pn n+ 1
pn:sinn n+ 1
pn n+ 1 =)
pn n+ 1 un
pn n+ 1 Comme lim
n !+1 pn
n+1 = lim
n !+1 pn
n(1+n1) = lim
n !+1 p 1
n(1+n1) = 0 et lim
n !+1 pn
n+1 = 0: Donc, d’après le théorème de gendarmes on conclut que :
nlim!+1un= 0
Limite d’une suite géométrique
Propriété 27 Soit q un nombre réel non nul.
Si q 1 alors lim
n !+1qn = +1: Si 1< q <1 alors lim
n !+1qn = 0:
Si q = 1 alors lim
n !+1qn= 1:
Si q 1 alors la suite (qn)n2N n’admet pas de limite.
Exemple 28 . On a lim
n !+1 p3
2 n
= 0 car 1< p23 <1:
On a lim
n !+1 5 2
n= 0 car 52 1:
La suite 27 n n2N n’a pas de limite quand n tend vers +1:
Suite de la forme u
n+1= f (u
n)
Propriété 29 Soit f une fonction continue sur un intervalle I telle que : f(I) I:
Soit (un)n2N une suite réelle dé…nie paru0 2I et un+1 =f(un):
Si (un)n2N est convergente de limite ` ,(`2I), alors ` est solution dans I de l’équation f(x) = x:
Exemple 30 Soit (un)n2N la suite dé…nie par : ( u0 = 1
(8n2N); un+1 =
q1+un
2
Étudions la convergence de la suite (un)n2N:
On considère la fonction f dé…nie sur I = [0;1]par : f(x) =
r1 +x 2
La fonction f est continue et strictement croissante sur I donc : f(I) =f([0;1]) = [f(0); f(1)] =
"p 2 2 ;1
#
donc
f(I) I On montre que : (8n2N); 0 un 1:
Pour n= 0; on a u0 = 1 donc 0 u0 1:
Soit n 2N: Supposons que 0 un 1 et montrons que 0 un+1 1:
On a 0 un 1 c’est-à-dire un 2 I, donc f(un) 2 f(I): Comme f(I) I alors un+1 2I, donc0 un+1 1:
Donc d’après le principe de récurrence on conclut que (8n2N);0 un 1 On étudions la monotonie de la suite (un)n2N:
Soit n 2N:
un+1 un =
r1 +un
2 un
=
1+un
2 u2n q1+un
2 +un
= 2u2n+un+ 1 2
q 1
1+un
2 +un
= (2un+ 1) (un 1) 2
q 1
1+un
2 +un
comme0 un 1, alors (2un+1)(u2 n 1) 0pour tout entiern 2N;doncun+1 un 0:
Ceci signi…e que la suite (un)n2N est croissante.
Puisque la suite (un)n2N est majorée par1 et croissante donc elle est convergente. Soit ` sa limite ` 2I alors ` est solution de l’équation f(x) =x:
Soit x2I:
f(x) =x ()
r1 +x
2 =x () 2x2 x 1 = 0 () x= 1
2 ou x= 1 comme x2I donc
nlim!+1un= 1 Ainsi la suite (un)n2N converge vers 1:
FIN
Pr : Yahya MATIOUI
www:etude generale:com
