3ème CALCUL et FONCTIONS COURS-Ex
JF Ferraris – 3ème – Calcul et fonctions – Cours et exercices – page 28 3.5 Mise en équation d’un problème
Exemple d’approche
Ajoutez 2 à votre âge, retranchez 2 à votre âge. Multipliez ces deux résultats entre eux, puis ajoutez 5. Enfin, enlevez le carré de votre âge au résultat obtenu.
Je parie que vous avez trouvé « 1 » !
Sauriez-vous démontrer que le résultat final est 1 quel que soit l’âge de départ ? Prenons un âge au hasard : 14 ans. La première phrase nous conduit à 12 et 16.
Le produit de ces deux nombres est 192, et en ajoutant 5 : 197.
Si on lui enlève le carré de 14 (196), on obtient 1.
La clé de la démonstration : reprenons avec n’importe quel âge, noté a.
La première phrase nous conduit à a+2 et a−2 qui, multipliés donnent a2−4. En ajoutant 5, on a : a2+1. Enfin, en retranchant a2, il reste : 1. CQFD
Cet exemple nous a montré un exemple de mise en équation, où tous les calculs nécessaires ont été écrits à l’aide d’un paramètre choisi au préalable : ici, la variable a.
Méthode générale :
1. Dans la question posée : repérez et nommez la variable / l’inconnue
2. Dans l’énoncé : repérez les grandeurs qui peuvent évoluer, écrivez-les en fonction de la variable 3. Reformulez la question posée en utilisant ces expressions.
Vous obtenez une équation ou une inéquation à résoudre.
Exemple :
Un constructeur de voitures désire livrer ses modèles neufs en les transportant par train.
Si la longueur d’une voiture est 4,50 mètres, la longueur du train 206 mètres, combien de voitures peut-on charger au maximum ?
Méthode point n°1 : Désignons par x ce nombre maximal de voitures.
Méthode point n°2 : longueur occupée par les voitures = 4,5 × x. Méthode point n°3 : 4,5 × x = 206.
donc x = 206 / 4,5 ≈ 45,78. On pourra placer 45 voitures au maximum.
3ème CALCUL et FONCTIONS COURS-Ex
JF Ferraris – 3ème – Calcul et fonctions – Cours et exercices – page 29 Exercices :
3.5.1 La remorque d’un camion peut être assimilée à un parallélépipède rectangle.
On veut en construire une suivant certaines contraintes : hauteur maximale = 2 mètres ; largeur maximale = 2,30 mètres ; longueur encore non fixée : x. Le volume de cette remorque est le produit de ses trois dimensions.
a. Ecrire le volume de la remorque en fonction de x.
b. Notre remorque doit pouvoir contenir 23 m3 de marchandises. Quelle doit être sa longueur ?
c. Selon une norme européenne, le volume ne peut dépasser 25 m3. Ecrire l’inéquation correspondante pour x et donner l’intervalle auquel cette longueur peut appartenir.
3.5.2 On doit réaliser un parterre de fleurs sur une aire de 18 m². La surface à fleurir est rectangulaire et sa longueur est le double de sa largeur. Ce parterre sera constitué d’un certain nombre de plants, espacés de 40 cm entre eux.
a. Calculer la longueur de ce parterre.
b. Combien y aura-t-il de plants ?
3.5.3 Soit un carré dont le côté inconnu est agrandi de 3 cm. Ce faisant, son aire a augmenté de 57 cm².
Combien vaut l’aire du carré initial ?
3.5.4 La commune de Saint-Foy de Dix possède un terrain rectangulaire dont la longueur dépasse de 10 mètres la largeur. Si on augmente sa longueur de 15 m et sa largeur de 8 m, alors son aire
augmente de 706 m². Quelles sont les dimensions du terrain initial ?
3.5.5 Soit un rectangle ABCD tel que AB = CD = 7 cm et BC = DA = 3 cm. Quelle doit être la position précise d’un point M, sur le segment [AB], tel que l’aire du triangle MBC soit la moitié de l’aire du trapèze AMCD ?
3.5.6 On réalise un espace planté selon la figure ci-contre. Il faut engazonner les demi-disques D1 et D2 et poser des bordures pour en faire le tour (trait gras). La longueur AC est fixée à 20 mètres ; par contre, on peut choisir librement le rayon du premier demi- disque (ce qui impose le rayon du second !), que l’on notera x. a. Exprimer les aires des deux demi-disques en fonction de x, et
donc l’aire totale à engazonner.
b. Exprimer la longueur totale de bordures à prévoir. Que constate-t-on ?
