FSR TD-Méthodes Numériques 2019/2020
A. Rtibi Page 1
Série 4 Exercice 1 : Elimination de Gauss
On considère le système linéaire ⃗ ⃗⃗ dont la forme explicite est:
(
) | |
1. Utiliser la matrice augmentée et la méthode d’élimination de Gauss pour rendre la matrice A triangulaire (toutes les étapes intermédiaires doivent figurer).
2. Déduire le déterminant de la matrice A.
3. Appliquer l’algorithme de la remontée triangulaire pour obtenir ⃗⃗
Exercice 2 : Décomposition LU avec permutation de lignes On considère le système linéaire de la forme suivante:
⃗ ⃗⃗
( ) | |
Pour mémoriser les permutations utiliser le vecteur : ⃗ |
1. Utiliser la décomposition de Crout avec permutation de lignes et déterminer ⃗.
2. En déduire le déterminant de la matrice .
3. Sans calculer , résoudre ⃗ ⃗⃗ en exploitant les résultats de la question 1).
Exercice 3 :
Soit la matrice suivante:
(
)
1. Donner sa décomposition de de Crout en notation compacte.
2. Résoudre le système ⃗ ⃗⃗ dans les cas suivants : ⃗⃗ ( ) ⃗⃗ ( ) ⃗⃗ ( )
3. En déduire et
Exercice 4 : Système d’équations non linéaires On considère le système non linéaire suivant :
A. RTIBI Page 2 { ( )
( ) 1. Déterminer analytiquement la solution de ce système.
2. En prenant ⃗ ( ) comme approximation initiale, déterminer la matrice jacobéenne ⃗ . 3. Déterminer le vecteur ⃗
4. En utilisant la relation du cours ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ , déterminer ⃗⃗⃗ . En déduire ⃗ .
5. Interpréter géométriquement la solution de ce système une fois la convergence est atteinte Exercice 5 :
On considère le système non linéaire :
{ ( ) ( ) 1. Déterminer graphiquement le nombre de solutions de ce système.
2. Pour ⃗ [ ] [ ] et en utilisant la méthode de Newton faire 2 itérations.
3. Pour une précision de et avec l’initialisation ⃗ on a obtenu à l’itération et à l’itération les résultats suivants :
Iter. ⃗( ⃗ )
14 2.000000E+00 3.051758E-04 1.3171E-07 15 2.000000E+00 1.525878E-04 3.2927E-08 Calculer pour chacune la valeur suivante :
‖ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ‖ avec ⃗ la racine exacte.
4. En déduire la convergence.
5. Trouver des points où la méthode de Newton ne converge pas.
Exercice 6 :
On considère le système non linéaire :
{ ( ) ( ) 1. Déterminer graphiquement le nombre de solutions de ce système.
2. Faire itérations de la méthode de Newton pour les systèmes non linéaires en partant de ⃗⃗
[ ] [ ] .
3. Calculer pour chacune des itération précédentes les valeurs :
‖ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ‖ 4. En déduire la convergence de cette méthode., Justifier
