Remarque sur les anneaux de fractions et la factorisation

P UBLICATIONS DU D ÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES DE L ^YON

C ^OLIN F ^LETCHER

Remarque sur les anneaux de fractions et la factorisation

Publications du Département de Mathématiques de Lyon, 1975, tome 12, fascicule 1 , p. 1-3

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M a t h é m a t i q u e s LYON 1 9 7 5 . 1 . 1 2 - 1

REMARQUE SUR LES ANNEAUX DE FRACTIONS ET LA FACTORISATION

par Colin FLETCHER

Dans cette note, nous démontrons un résultat concernant la localisation dans les anneaux à factorisation unique [4] ou UFR, répondant à une question de [2] .

La terminologie et les notations employées sont celles de [l] et [3] •

THEOREME• - Soit S une partie multiplicative ne contenant pas zéro d'un anneau A à factorisation unique. Alors S ¹ A est un anneau à factori- sation unique et lfimage canonique de A dans S ' A est intégralement fermée.

DEMONSTRATION. - a ) D'après [3] , on a un isomorphisme canonique

A ~ A j $ . 6 A ^ , où A ^ est un anneau factoriel ou un anneau principal spécial ; il existe dans chaque A^ une partie multiplicative telle que

(1)

s"

s"

1

R e m a r q u e sur les anneaux d e fractions et l a factorisation

1'isomorphisme canonique ci-dessus est défini par

(a., • ••, a ) a. a

— 2- I > ( - . . . 7

) .

( S j, . . . , sn) S j n

On ne conserve, dans la somme directe (1) que les anneaux non nuls : (2) S ' ^ S " 1 A. e . . . 6 S~ * A avec n u n.

1 1 m m

Si est factoriel, il en est de même de A ^ ; si A ^ est principal spécial, comme on suppose S ^ A ^ non n u l , on a S^* A ^ — A ^ . Par conséquent d'après [3] , lfa n n e a u S * A est un anneau à factorisation unique.

b ) Soient <f> : A > S A l'homomorphisme canonique et - é S A s

un élément entier sur <f)(A) avec a 3 8 ( a j , . . . , an) et s = (sj,.••,s ) G S ; soit <J>^ : A ^ — » S^* A ^ l^f homomorphisme canonique ; on a :

n

(3) <J>(A)— • <f>- >^et iles t facile de voir que pour tout i-1 1

ai -1

i s l,...,n l'élément — € S. A . , est entier sur < J > . ( A . ) . s.

1

Si A ^ est factoriel, A ^ < | K ( A^ ) est intégralement fermé dans sT¹ A^ ,

ai -1

donc — € ( ^ ( A ^ ) . Si A ^ est principal spécial, alors S. A . est nul ou

s. 1

1

a.

isomorphe à A . . Donc dans tous les cas, on a — £ < J> . ( A . ) et — € $ ( A ) , d'où s. 1 S

le résultat. 1

La deuxième assertion du théorème répond à une question de [ 2 ] .

2

Remarque sur les anneaux de fractions et la factorisation

BIBLIOGRAPHIE.

~IJ N. BOURBAKI, Algèb~e commutative~ Herman, Paris.

[2 J A. BOUVIER, Re1TlaPques

ra factonsation dans les an.neauz

Publ. Dept. Math. Lyon, 8 (1971), 3-4, p. 1-18.

C.R. FLETCHER, The

of unique

Proc.

Cambridge Philos. Cos. , 67 (1970), p. 535-540.

C.R. FLETCHER, Equivalent conditions

unique

Publ.

Dept. Math. Lyon, 8 (1971), fasc.

p. 13-22.

Manuscrit remis en décembre 1974. COlm FLETCHER

3

Department of Pure mathematics University College of Wales Penglais

AbelYStwyth Catdiganshire Wales