On Schwartz Spaces and Mackey Convergence

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On Schwartz Spaces and Mackey Convergence

Publications du Département de Mathématiques de Lyon, 1973, tome 10, fascicule 3 , p. 79-97

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( 1 9 7 3 , B o r d e a u x )

p . 2 3 3 - 2 5 1 Departement de

Ma the ma ti qu es Lyon 1973 1.10-3

O N SCHWAK'TZ S P A C E S A N D NiACKEY C O N V E R G E N C E H a n s J a r c h o w

T h e p u r p o s e o f t h i s a r t i c l e i s to g i v e a s u r v e y o n s o m e o f t h e r e ­ c e n t r e s u l t s in t h e t h e o r y of S c h w a r t z s p a c e s a n a t o s h o w h o w t h e y a r e c o n n e c t e o w i t h t h e t h e o r y o f l a c k e y c o n v e r g e n c e of s e q u e n c e s in l o c a l l y c o n v e x s p a c e s . T h e s e r e s u l t s a r e s c a t t e r e d o v e r v a r i o u s p o ­ p e r s , s e e e . g . [l] , [l4] ^f [19-22] , [26] ^f [27-3cl ^f [33l ^f [ 3 4 ] . F o r s o m e of t h e m w e w i l l p r e s e n t h e r e n e w a n d (or) s i m p l if i e a p r o o f s .

T h e r e a r e a t l e a s t t w o c o n c e p t s w h i c h a r e h i g h l y a p p r o p r i a t e c to p r o v i d e u s w i t h a s a t i s f a c t o r y l a n g u a g e f o r o u r p u r p o s e , n a m e l y t h e c o n c e p t o f s p a c e s w i t h b o r n o l o g y , s e e H o g b e - N l e n d D-31 , a n a t h e c o n ­ c e p t o f l i m i t s p a c e s , s e e F i s c h e r Cll3 . It i s n o t h a r d t o s e e t h c t in t h e c a s e w e a r e i n t e r e s t e d i n t h e l a t t e r c o n c e p t i n c l u a e s t h e f i r s t o n e in a n a t u r a l w a y . M o r e o v e r , 3 u c h w a l t e r ' s t h e o r y o n corr.pactoloci- c a l s p a c e s [ 4 } a p p e a r s a s a s p e c i a l c a s e o f t h e t h e o r y o f l i m i t s p a ­ c e s . S i n c e t h i s t h e o r y is a l s o i m p o r t a n t i n o u r c o n t e x t , a n a s i n c e w e a r e c o n c e r n e d h e r e m a i n l y w i t h q u e s t i o n s of c o n v e r g e n c e r a t h e r t h a n o f b o u n c e c n e s s , w e w i l l w o r k w h o l l y w i t h i n t h e c a t e g o r y o f l i m i t s p a c e s .

1. G E N E R A L I T I E S O N L I M T S P A C E S

W e d e n o t e b y F ( h ) t h e s e t of a l l f i l t e r s o n a g i v e n s e t M a n c b y P ( F ( M ) ) t h e p o w e r s e t o f F(f>.). F o l l o w i n g F i s c h e r Cll3 w e c a l l a m a p

^: N; > F ( F ( K ) )

a l i m i t s t r u c t u r e o n M if it s a t i s f i e s ( L l ) a n c ( L 2 ) , f o r a i l x € «• : (LI) T h e u l t r a f i l t e r g e n e r a t e d b y {x} b e l o n g s t o ^ ( x ) .

(L2) F o r a l l r,(|e F( M ) : f",|jc*(x) <=>

Tf\§€ *X

S i n c e e a c h t o p o l o g y o n a s e t d e t e r m i n e s c a n o n i c a l l y a u n i q u e l i m i t s t r u c t u r e o n t h i s s e t , w e w i l l c o n s i d e r t o p o l o g i c a l s p a c e s a s s p e c i a l

On Schwartz spaces and Mackey convergence

n o t a t i o n s f r o m t o p o l o g y , w e a r e l e d t o t h e f o l l o w i n g d e f i n i t i o n s : Let[M,3Q b e a l i m i t s p a c e . If J e F(M) s a t i s f i e s Te ft(x) f o r s o m e xfif., t h e n 3""is s a i d to c o n v e r g e t o x . I f , f o r a l l x , y c M , ft(x)nft(y) is v o i d u n l e s s x = y , t h e n w e s a y that[№,^] (or A ) is H a u s d o r f f o r s e p a r a t e d .

Let DM ,^1 b e a s e c o n d l i m i t s p a c e . A m a p f :K » N is c a l l e d (ft.j*)- - c o n t i n u o u s , o r s i m p l y c o n t i n u o u s , if f(ft(x))c ^ ( f ( x ) ) h o l d s f o r a l l

If ft a n d a r e l i m i t s t r u c t u r e s o n M s u c h t h a t t h e i d e n t i t y m a p of to is (ft - c o n t i n u o u s , w e s a y t h a t ft i s f i n e r (or s t r o n g e r ) t h a n ^i,:

one t h a t [L is c o a r s e r (or w e a k e r ) t h a n ft, a n d w e w r i t e ft^^tor £ ft . T o g e t h e r w i t h t h e i r c o n t i n u o u s m a p p i n g s t h e l i m i t s p a c e s f o r m a c a ­ t e g o r y L c o n t a i n i n g t h e c a t e g o r y T O P o f a l l t o p o l o g i c a l s p a c e s a s a

full s u b c a t e g o r y . L is c o m p l e t e a n d c o - c o m p l e t e . P r o d u c t s , c o - p r o d u c t S i s u b o b j e c t s , q u o t i e n t s , a n d , m o r e g e n e r a l l y , p r o j e c t i v e a n d i n d u c t i v e l i m i t s in L a r e o b t a i n e d in t h e u s u a l w a y .

Let now[Ni,ft3 b e t h e i n d u c t i v e l i m i t in L. o f a f a m i l y ((Vi^ t f t ^ ) ^ j o f l i m i t s p a c e s , w i t h r e s p e c t t o t h e c o n t i n u o u s m a p p i n g s f^ > ^f i 4 j . P o s s i b l y a f t e r s o m e e l e m e n t a r y m a n i p u l a t i o n s , w e m a y a s s u m e that M - C M . f o r i * j a n d t h a t f.. is t h e c o r r e s p o n d i n g i n c l u s i o n m a p p i n g . W e w i l l r e s e r v e t h e n o t a t i o n

tNi,ft]*= l i m i n d [M. ,ft .]

i€I ^{1 1}

e x c l u s i v e l y f o r t h i s s p e c i a l s i t u a t i o n , a n d w e w i l l o n l y c o n s i d e r i n - c u c t i v e l i m i t s i n L o f t h i s t y p e .

T h e b e h a v i o r o f t h i s " l i m i n d " is r a t h e r g o o d . W e s t a r t w i t h t h e f o l l o w i n g p r o p o s i t i o n w h i c h is m a i n l y d u e to F i s c h e r [ll] (see a l s o [36], £ 3 ] ) :

(1.1} A f i l t e r T in. (K'I ,ft3 = 1 iro ind |V;. ,ft 3 c o n v e r g e s t o x€ M if a n d o n l y

i d ^{1 1}

if w e h a v e x C N ^ , M i T a n d J^cft^x) f o r s o m e i d , w h e r e i s t h e t r a c e o f 7 ojn M ^ .

It f o l l o w s t h a t [Ni,ft3is H a u s d o r f f iff t h i s i s t r u e f o r a l l O ^ ^ j l • A n o t h e r i m p o r t a n t p r o p e r t y o f L, n a m e l y to b e a c a r t e s i a n c l o s e d c a t e g o r y , i s e x p r e s s e d i n t h e f o l l o w i n g t h e o r e m , t h e p r o o f o f w h i c h

c a n b e f o u n d in [ ? 3 a n d [z\ :

(1.2) L e t |V, A 1 o n e psi,^] b e l i m i t s p a c e s . L e t l ( M , N ) d e n o t e t h e s e t of all ( H d i s c o n t i n u o u s m a p s f r o m M i n t o N . A m o n g a l l l i m i t s t r u c ­ t u r e s A oj2 ^ ( h , N ) s u c h t h a t t h e e v a l u a t i o n m a p

« : W( N i . N) . A ] x [ M^f^ ] >Dsi^fjJ: ( f^fx ) I * f ( x )

is c o n t i n u o u s , t h e r e i s a c o a r s e s t o n e w h i c h w e d e n o t e by A . c

A is c a l l e d t h e l i m i t s t r u c t u r e o f c o n t i n u o u s c o n v e r g e n c e . It is H a u s d o r f f iff fx h a s t h i s p r o p e r t y . A f i l t e r $ in «£(M,N) b e l o n g s t o /\ (f) f o r s o m e fcftC^tN) if and only if, for every x e M a n d every

3" € ^ ( x ) , w e h a v e u ( $ x T ) € ^ . ( f ( x ) ) .

C fk

T h e l i m i t s t r u c t u r e i n a u c e d f r o m A ^{o n} H C 'S(MiN) w i l l b e d e n o t e d

by A ° a g a i n . S o m e t i m e s w e w i l l w r i t e H i n s t e a d of 1 h » A ° 3 % a n d £ ( M . N )

c c i n s t e a d of ,N) , A 3 . A l s o , if (Ki,A]is a n y l i m i t s p a c e , a n d if n o

c o n f u s i o n is to b e f e a r e d , w e s o m e t i m e s w i l l o m i t t h e % a n d w r i t e № i n s t e a d of [N,^3 •

F o r l i m i t s p a c e s M a n d N , ( 1 . 2 ) y i e l d s t h e f o l l o w i n g u n i v e r s a l p r o p e r t y of t h e s p e c e s H f o r H C^ ( N i . N ) :

c

(1.3) If_ Z is a n y l i m i t s p a c e , t h e n a m a p f:Z * H is c o n t i n u o u s if a n d o n l y if f : Z x Ni • N : ( z , x ) l—• f (z) (x) is c o n t i n u o u s . It i s c l e a r t h a t ( 1 . 3 ) a c t u a l l y c h a r a c t e r i z e s t h e l i m i t s t r u c t u r e /\ o n H .

W e t a k e t h e o c c a s i o n to e s t a b l i s h t h e c o n n e c t i o n w i t h t h e c o m p e c - t o l o g i c a l s p a c e s o f B u c h w a l t e r [4]:

A c o m p a c t o l o g i c a l s p a c e is a n o r d e r e d p a i r 0^v'^f3C)i w h e r e F*. i s a s e t a n d 3c ^f t h e c o r n p a c t o l o g y of (f itfc) • is a n u p w a r d s d i r e c t e d c o v e r ­ ing of M , e a c h of i t s m e m b e r s K b e i n g s u p p l i e d w i t h a f i x e d H a u s d o r f f c o m p a c t t o p o l o g y % s u c h t h a t (Cl) a n a (C2) a r e s a t i s f i e d :

(CI) If K , L € 3 c a n d K C L , t h e n [ K , T, ,3 is a s u b s p a c e of

fL.trJ

the t o p o l o g y i n d u c e d f r o m , b e l o n g s to Qfo .

Y/e w i l l c a l l t h e c o r n p a c t o l o g y 3t o f (h,0C) m a x i m a l if t h e r e e x i s t s a l i m i t s t r u c t u r e ^4. o n l<\ s u c h t h a t a l l c o m p a c t s u b s e t s o f

0

«ijO

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t o p o l o g i c a l s p a c e s u n d e r t h e i n d u c e d l i m i t s t r u c t u r e , a n d 3t c o n s i s t s e x a c t l y o f t h e s e c o m p a c t s e t s . A s u b s e t S i n [M,^*] i s s a i d t o b e c o m p a c t if e v e r y u l t r a f i l t e r in M c o n t a i n i n g S c o n v e r g e s t o s o m e x € S .

L e t (M,3fc) a n d

( M

,3C

)

is c a l l e d c o m p a c t o l o g i c q l if it m a p s c o n t i n u o u s l y e a c h m e m b e r o f 3t

i n t o s o m e m e m b e r o f 3C' • *ⁿ t h i s c a s e , f ( K ) i s a n e l e m e n t o f u n d e r t h e f i n a l t o p o l o g y o f K — * f ( K ) , f o r e v e r y KfiOfc.

If (M,3t) r s a c o m p a c t o l o g i c a l s p a c e , w e c a n i n t r o d u c e a l i m i t s t r u c t u r e 0 ^ o n M b y m e a n s o f

CM,XJ « l i m i n d D < / 0 .

K e X ^K

If

( M

X

(1.4) T h e c a t e g o r y o f a l l m a x i m a l c o m p a c t o l o g i c a l s p a c e s ( c o m p a c t o ­ l o g i c a l m a p s ) c a n b e c o n s i d e r e d a s a f u l l s u b c a t e g o r y o f L. .

2 . L I M I T S T R U C T U R E S ON D U A L S P A C E S

A l i m i t v e c t o r s p a c e i s a l i m i t s p a c e (JEAl c o n s i s t i n g o f a ( r e a l x$r c o m p l e x ) v e c t o r s p a c e E a n d a l i m i t s t r u c t u r e A o n E s u c h t h a t a d d i ­ t i o n E x E > E a n d s c a l a r m u l t i p l i c a t i o n K x E * E a r e c o n t i n u o u s for t h e r e s p e c t i v e p r o d u c t l i m i t s t r u c t u r e s . H e r e K d e n o t e s t h e f i e l d of r e a l o r c o m p l e x n u m b e r s , w i t h i t s e u c l i d e a n t o p o l o g y .

If [E,A] i s a l i m i t v e c t o r s p a c e , t h e n , f o r e v e r y x c E , ^ ( x ) i s o b t a i ­ n e d f r o m %(o) b y A(x) - x + 5i(o) . T h e r e f o r e a l i n e a r m a p T : E * F ,

££,X! a n d [F l i m i t v e c t o r s p a c e s , is ⁹JL ) - c o n t i n u o u s i f f it s a t i s f i e s T( a( o ) ) C p ( o ) . .

A g a i n , t h e l i m i t v e c t o r s p a c e s f o r m , t o g e t h e r w i t h t h e i r c o n t i n u o u s l i n e a r m a p s , a c a t e g o r y L V R h a v i n g a r b i t r a r y l i m i t s a n d c o - l i m i t s . F o r d e t a i l s w e r e f e r t o [ll] , [36] , [ 2 3 ] , [ l 6 ] , a n d o t h e r s .

If i s a l i m i t v e c t o r s p a c e , t h e n t h e f a m i l y o f a l l c o n t i n u o u s

s e m i - n o r m s o n [ E,A] d e f i n e s a l o c a l l y c o n v e x t o p o l o g y t^(0i) o n E w h i c h is a c t u a l l y t h e f i n e s t a m o n g a l l l o c a l l y c o n v e x t o p o l o g i e s o n E m a ­ j o r i z e d b y ft . T h i s t o p o l o g y , h o w e v e r , n e e d n o t b e s e p a r a t e a , e v e n if % i s . W e w i l l n o t c o n s i d e r t h e o b v i o u s f u n c t o r i a l i n t e r p r e t a t i o n of t h i s c o n s t r u c t i o n h e r e .

C u r i n t e r e s t m a i n l y g o e s i n t o t h e p r o p e r t i e s o f s p e c i a l l i m i t s t r u c t u r e s o n t h e d u a l E ¹ of a g i v e n l o c a l l y c o n v e x s p a c e E , t h e l a t t e r b e i n g t a c i t l y a s s u m e d t o b e H a u s d o r f f t h r o u g h o u t t h i s n o t e . 3 y lig. w e a l w a y s w i l l d e n o t e a g i v e n n e i g h b o r h o o d b a s i s of z e r o i n E .

F i r s t l y , w e e x a m i n e s o m e o f t h e p r o p e r t i e s o f t h e l i m i t s t r u c t u r e of c o n t i n u o u s c o n v e r g e n c e o n E * . W e s t a r t w i t h t h e f o l l o w i n g g e n e r a l

r e s u l t t h e e a s y p r o o f of w h i c h m a y b e f o u n d i n [2] :

(2.1) L e t № b e a l i m i t s p a c e a n d F a l i m i t v e c t o r s p a c e . F o r e v e r y l i n e a r s u b s p a c e H ojf ^(to,F), i s a l i m i t v e c t o r s p a c e . In o u r s i t u a t i o n , w h e r e N1 i s t h e l o c a l l y c o n v e x s p a c e E a n d F i s t h e s c a l a r f i e l d HC, w e t a k e f o r H t h e d u a l E^f of E . T h e c a n o n i c a l b i l i n e a r f o r m C D : t ' x E • K i s c o n t i n u o u s , a n d A i s e v e n t h e c o a r -c *c s<est l i m i t s t r u c t u r e o n E ¹ h a v i n g t h i s p r o p e r t y .

W e w i l l g i v e a c o n c r e t e r e p r e s e n t a t i o n o f E^f a s a m a x i m a l c o m p a c t o - c

l o g i c a l s p a c e n o w . W h i l e o u r p r o o f g i v e n in [19} referred to t h e g e n e ­ r a l t h e o r y of l o c a l l y c o m p a c t l i m i t s p a c e s of S c h r o d e r [3j]^f w e n o w g i v e a d i r e c t p r o o f u s i n g o n l y s o m e w e l l - k n o w n f a c t s o n t o p o l o g i c a l v e c t o r s p a c e s :

v2.2) L e t E be a l o c a l l y c o n v e x s p a c e . F o r e a c h U c l e t u s d e n o t e

£ y T ⁰ t h e ( c o m p a c t ) t o p o l o g y i n d u c e d f r o m t h e w e a k t o p o l o g y tf(E',£) o n t h e p o l a r U ° o_f U . T h e n w e h a v e

[£• , A ° 3 - l i m i n d Cu°,ff ]

^ i n d e p e n d e n t l y f r o m t h e s p e c i a l c h o i c e O f *L_ . O f c o u r s e ) . P r o o f . T h e i n d u c t i v e l i m i t o c c u r r i n g o n t h e r i g h t h a n d s i c e of t h e a b o v e e q u a t i o n c l e a r l y e x i s t s . L e t u s a e n o t e t h e c o r r e s p o n o i n g l i m i t s t r u c t u r e o n E ' b y A . It is e a s y to s e e t h a t [E',A] is a l i m i t v e c t o r s p a c e .

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If 3* i s in A ° ( o ) , t h e n the f i l t e r ( g e n e r a t e d b y ) CJ(TX ^ ) c o n v e r ­ ges to z e r o in T h u s we h a v e U°eT f o r s o m e U€*lu. S i n c e < r( E^{f f}E ) i s o b v i o u s l y c o a r s e r t h a n A° it f o l l o w s t h a t t h e t r a c e o f JT o n U ° c o n ­ v e r g e s to z e r o in [U° t^o-J • H e n c e w e h a v e , b y c o n t i n u i t y , A ( o ) w h i c h p r o v e s A ° * A *

O n t h e o t h e r h a n d , o :JE',CF(Z ^f , E)] x E * K i s % - h y p o c o n t i n u o u s ^f e

%^ t h e f a m i l y o f a l l e q u i c o n t i n u o u s s u b s e t s of E ' . T h e r e f o r e t h e r e ­ s t r i c t i o n o f 61 to e a c h of the s p a c e s £u° ,0* x E i s c o n t i n u o u s , c f . [3]. F r o m t h i s w e g e t c o n t i n u i t y o f 0) :[E^?,A] x E > K a n d t h u s A * A °

f r o m t h e u n i v e r s a l p r o p e r t y of A° . A s a c o n s e q u e n c e w e h a v e :

( 2 . 3 ) A ° is t h e f i n e s t l i m i t s t r u c t u r e o n E ' i n d u c i n g o n e v e r y e q u i — c o n t i n u o u s s u b s e t o f E ^f t h e s a m e t o p o l o g y as - <T(E ¹ , E) •

T h e t o p o l o g y J t( AC) i s t h e r e f o r e the f i n e s t l o c a l l y c o n v e x t o p o l o g y on E * w h i c h i n d u c e s o n e v e r y e q u i c o n t i n u o u s s u b s e t of E ' t h e w e a k t o ­ p o l o g y . Her,;e w e g e t frorA the G r o t h e n d i e c k c o n s t r u c t i o n of t h e c o m ­ p l e t i o n of J l o c a l l y c o n v e x s p a c e (cf. [ 2 4 ] ) :

( 2 . 4 ) T h e d u a l o f E * i^s ( a l g e b r a i c a l l y i s o m o r p h i c w i t h ) t h e c o m p l e — t i o n ^ ojf E •

M o r e o v e r , t h e d u a l o f E ' , s u p p l i e d w i t h t h e c o r r e s p o n d i n g l i m i t c

s t r u c t u r e c f c o n t i n u o u s c o n v e r g e n c e , is a l o c a l l y c o n v e x s p a c e w h i c h is e v o n t o p ^ l o g i c a l l y i s o m o r p h i c w i t h E ; c f . B u t z m a n n [ 6 ] .

T h e f a m i l y ^ o f a l l ff(E•^fE)-closea e q u i c o n t i n u o u s s u b s e t s of E^f is g c o m p a c t o l o g y o n £ • . F r o m a t h e o r e m o f C o o k - F i s c h e r [?} it f o l l o w s t h a t ^ c o n s i s t s e x a c t l y of t h e c o m p a c t s u b s e t s o f E ' . S o w e h a v e :

e c ( 2 . 5 ) ( E¹ ,4 ) is a m a x i m a l c o m p a c t o l o g i c a l s p a c e ^f a n d i s t h e

e • T^e

l i m i t s t r u c t u r e A ° of c o n t i n u o u s c o n v e r g e n c e .

;/e n o w w i l l i n t r o d u c e a s e c o n d c a n o n i c a l l i m i t s t r u c t u r e o n t h e c u a l E ' o f a l o c a l l y c o n v e x s p a c e E .

T o b e g i n w i t h , let [F,*] b e a n y l i m i t v e c t o r s p a c e . We w i l l s a y t h a t O^jflis a c o n v e x l i m i t s p a c e , a n d % i s a c o n v e x l i m i t s t r u c t u r e o n F

(f.arinescu s p a c e a n a M a r i n e s c u l i m i t s t r u c t u r e in [ l o i ) , if it h a s a r e p r e s e n t a t i o n of t h e f o r m

[F^ffc] = l i m i n d [F. ,T.3 ,

i d ^{1 1}

w h e r e t h e [F . , a r e l o c a l l y c o n v e x s p a c e s ( n o t n e c e s s a r i l y H a u s d o r f f ) . Of c o u r s e , w e r e q u i r e h e r e t h e l i n e a r i t y of a l l c o n t i n u o u s e m b e d a i n g s Fⁱ > F . , i £ j .

T h e c o n v e x l i m i t s p a c e s f o r m a f u l l s u b c a t e g o r y C L V R of L V R . In CLVrJ, w e h a v e a r b i t r a r y c o - l i m i t s a n d l i m i t s a g a i n , t h e l a t t e r , h o w - e v e r , n o t b e i n g n e c e s s a r i l y i d e n t i c a l w i t h t h e c o r r e s p o n d i n g o n e s f o r m e d in L V R , c f . flô] . In g e n e r a l , t h e l i m i t s t r u c t u r e o f c o n t i n u o u s c o n v e r g e n c e o n s p a c e s of c o n t i n u o u s l i n e a r f u n c t i o n s b e t w e e n c o n v e x l i m i t s p a c e s is n o t a c o n v e x l i m i t s t r u c t u r e , s e e b e l o w . T h e r e i s , h o w - e v e r , a s u b s t i t u t e f o r t h i s l i m i t s t r u c t u r e in C L V R . F o r t h e c o n s t r u c - t i o n w h i c h is b a s e a o n i d e a s o f K a r i n e s c u [25] s e e fié] ^f [23} . H e r e w e o n l y w i l l g i v e a n e x p l i c i t f o r m u l a f o r t h i s l i m i t s t r u c t u r e o n t h e d u a l E ¹ of a l o c a l l y c o n v e x s p a c e E .

B e f o r e a o i n g t h i s , w e w i l l e s t a b l i s h t h e c o n n e c t i o n w i t h t h e w o r k of H o g b e - K l e n d [133 o n b o r n o l o g i c a l v e c t o r s p a c e s .

Let E b e a HC-vector s p a c e , a n d l e t B b e a c o n v e x b o r n o l o g y o n E . T h i s m e a n s t h a t w e a r e g i v e n a n u p w e r c s d i r e c t e d c o v e r i n g 23 of E , s t a - b l e u n d e r t h e o p e r a t i o n s of f o r m i n g s u b s e t s , v e c t o r i a l s u m s , h o m o t h e - t i c i m a g e s a n d a b s o l u t e l y c o n v e x h u l l s of i t s m e m b e r s . T h e p a i r (E,fe)

is c a l l e d a c o n v e x b o r n o l o g i c a l ( v e c t o r ) s p a c e .

F o r e a c h B€l&, w e d e n o t e b y E_ t h e l i n e a r s p a c e g e n e r a t e d b y 3 . T h i s

ID

b e c o m e s a s o m i - n o r m e d l o c a l l y c o n v e x s p a c e b y m e a n s o f t h e t o p o l o g y T~

c e n e r a t e a b y t h e g a u g e of (the a b s o l u t e l y c o n v e x c o v e r of) B . W i t h ft • w e m a y t h u s a s s o c i a t e t h e c o n v e x l i m i t s t r u c t u r e %^ o n E d e f i n e d b y

[ ^ » \ J = l i m i n d [ E_ , 0 .

V 3 C « ^{b u}

Let (F, J ' ) be a s e c o n a c o n v e x b o r n o l o g i c a l s p a c e . A l i n e a r m a p

f;E > F is c a l l e d b o u n d e d if it s a t i s f i e s f( t) cV . U s i n g ( 1 . 1 ) o n e p r o o f s t h a t t h i s is t h e c a s e if a n d o n l y if f i s ( J ^ t%^i) - c o n t i n u o u s , c f . [ 2 3 J . If a c o n v e x l i m i t s p a c e [ E , j Q i s r e p r e s e n t a b l e in t h e f o r m

r~»^3= l i m i n d j E . f t J w i t h s e m i - n o r m e d s p a c e s [ l ^Mt . ] , t h e n t h e s y s t e m

On Schwartz spaces and Mackey convergence

B of a l l s u b s e t s of £ w h i c h a r e c o n t a i n e d a n d b o u n d e d in

s o m e [ £ .

T . J

is a c o n v e x b o r n o l o g y o n E . S i n c e h o l d s w e h a v e :

( 2 . 6 ) T h e c a t e g o r y of a l l c o n v e x b o r n o l o g i c a l s p a c e s ( b o u n d e d l i n e a r m a p s ) c a n be i d e n t i f i e d w i t h t h e full s u b c a t e g o r y of. C L V R con*»

s i s t i n g of t h o s e c o n v e x l i m i t s p a c e s w h i c h h a v e a r e p r e s e n t a t i o n as i n d u c t i v e l i m i t s of s e m i - n o r m e d l o c a l l y c o n v e x s p a c e s .

.Ve w i l l n a m e t h e o b j e c t s in t h i s s u b c a t e g o r y b o r n o l o g i c a l ( c o n v e x )

liiT.it s p a c e s .

It is c l e a r , t h a t t h e t e r m " h a c k e y c o n v e r g e n c e " f o r c o n v e x b o r n o - l o g i c a l s p a c e s (cf.[l3]) m e a n s just c o n v e r g e n c e in t h e c o r r e s p o n d i n g b o r n o l o g i c a l l i m i t s p a c e .

Let n o w £ be a l o c a l l y c o n v e x s p a c e a g a i n , a n d l e t be a b a s i s for t h e n e i g h b o r h o o d f i l t e r of z e r o in E . W e p r o v e a s p r o m i s e d t h e

" b o r n o l o g i c a l " a n a l o g u e of ( 2 . 2 ) :

(2.7) T h e r e e x i s t s a c o a r s e s t a m o n g a l l c o n v e x l i m i t s t r u c t u r e s A on £ ' s u c h t h a t (j:EE^f,A]x E > K is c o n t i n u o u s . W e a e n o t e t h i s l i m i t s t r u c t u r e b y y\^m .

[E *, A^{N I}] is b o r n o l o g i c a l a n d m a y be r e p r e s e n t e d in t h e f o r m

[E« , A^M] = l i m ind [ E ' T ]

U€<L ^ u°

(the r e p r e s e n t a t i o n b e i n g c l e a r l y i n d e p e n d e n t f r o m t h e s p e ­ c i a l c h o i c e of a g a i n ) .

3 y m e a n s of ( 2 . 6 ) w e m a y t h e r e f o r e i d e n t i f y A ™ w i t h t h e e q u i c o n - t i n u o u s b o r n o l o g y B o n £¹ , c f . [l3] .

e

P r o o f . D e f i n e % ( « V ) b y [E ¹, ft] = l i m ind [ E '⁰, t ⁰] • W e h a v e t o

Be ue<L, ^U u s h o w , t h a t % h a s t h e r e q u i r e d u n i v e r s a l p r o p e r t y .

*\k A ° is e a s i l y s e e n , h e n c e (J:^',^] x £ - — • K is c o n t i n u o u s . T o see t h a t % is t h e c o a r s e s t c o n v e x l i m i t s t r u c t u r e o n £ ' h a v i n g t h i s p r o p e r t y , w e p r o v e a l i t t l e l e m m a (see [23] a n d [l6j for g e n e r a l i z a t i o n s ) .

Let F be a t o p o l o g i c a l v e c t o r s p a c e , a n d l e t T : F • E ^F b e l i n e a r c

a n d c o n t i n u o u s . T h e n T : F *[E\,^] is c o n t i n u o u s .

Let u s d e n o t e b y ^ t h e n e i g h b o r h o o d f i l t e r of zero- (or a b o s i %

c f it) in F . F o r t h e f i l t e r ( g e n e r a t e d b y ) T^p.) w e h a v e

T(4i ^)€A

T h i s y i e l d s t h e e x i s t e n c e of s o m e U € % u s u c h t h a t U ° € T ( ^^F) , o r T ( V ) C U ° for soiae V C ^ . . H e n c e T m a p s F c o n t i n u o u s l y i n t o [ E '^{Q I} C J w h i c h m e a n s that T : F ^IjE'A] is c o n t i n u o u s .

The l e m m a r e m a i n s c l e a r l y t r u e if w e r e p l a c e F b y a n y c o n v e x l i m i t s p a c e , a n c f r o m t h i s f o l l o w s o u r a s s e r t i o n .

A s a c o n s e q u e n c e w e g e t (cf. [233 ) t h a t A*" i^{s a} t o p o l o g y if a n a o n ­ ly if E is a n o r m e d s p a c e , in w h i c h c a s e w e h a v e A '¹ E • , E) . If E is not n o r m e d , t h e n t h e r e is no v e c t o r s p a c e t o p o l o g y Q o n E ' s u c h t h a t C J : [ E'^fQ3x E » IK is c o n t i n u o u s .

W e g i v e a n a p p l i c a t i o n to S c h w a r t z s p a c e s . F o r o u r p u r p o s e it is c o n v e n i e n t to c h o o s e t h e f o l l o w i n g d e f i n i t i o n ([15] ^f[34] ) : A l o c a l l y c o n v e x s p a c e E is c a l l e a a S c h w a r t z s p e c e if f o r e v e r y UcHi^ t h e r e is c V6<L- s u c h that U ° is c o m p a c t i n [ E ' ^f f ~] •

(2.£) F o r e v e r y l o c a l l y c o n v e x s p a c e E t h e f o l l o w i n g s t a t e m e n t s a r e e g u i v a l e n t :

(a) E is a S c h w a r t z s p a c e , (k)

C -'fA

]

( c ) C E ' , A^C] = [ E - , A^R' 3 .

T h e i m p l i c a t i o n s (a)=»(b)o(c) a r e e a s y to p r o v e . (c)=»(a) is a c o n ­ s e q u e n t of (l.l) a n d a l e m m a of G r o t h e n d i e c k ( c f . § 2 1 , 6 . (5) in [24j).

F o r a d e t a i l e d p r o o f s e e [ l 9 ] . A s a c o r o l l a r y w e g e t :

(2.9) L e t E be a l o c a l l y c o n v e x s p a c e . EJ^ is a t o p o l o g i c a l s p a c e if e n d only if E is f i n i t e d i m e n s i o n a l .

T h i s f o l l o w s f r o m t h e fact t h a t S c h w a r t z s p a c e w h i c h is n o r m e a is cf f i n i t e c i m e n s i o n .

On Schwartz spaces and Mackey convergence

3. N U L L S E Q U E N C E S IN T H E D U A L

It is w e l l k n o w n , c f . [15] , [24], that in e v e r y m e t r i z a b l e l o c a l l y c o n v e x s p a c e E a f u n d a m e n t a l s y s t e m of p r e c o m p a c t s u b s e t s i s g i v e n by the c l o s e d a b s o l u t e l y c o n v e x c o v e r s of t h e null s e q u e n c e s in £ • Using t h i s t o g e t h e r w i t h the d e s c r i p t i o n (l.l) of c o n v e r g e n c e in c o n v e x l i m i t s p a c e s , w e a r e l e d to the f o l l o w i n g c h a r a c t e r i z a t i o n of S c h w a r t z s p a c e s ([34] , [19] ,[l4] ) :

(3.1) A l o c a l l y c o n v e x s p a c e E is a S c h w a r t z s p a c e if a n d o n l y if i t s t o p o l o g y is t h a t of u n i f o r m c o n v e r g e n c e on the n u l l s e q u e n c e s . in [ E ' , AM3 .

If o n e r e p l a c e s h e r e A'" by A ° t h e n one o b t a i n s e x a c t l y B u c h w a l t e r ' S D e f i n i t i o n of a n " e s p a c e s e m i - f a i b l e^{1 1 f} c f . [5](in t h i s l e c t u r e n o t e ) . F r o m (2.o) it f o l l o w s a l s o that e v e r y S c h w a r t z s p a c e is s e m i - f a i b l e .

A s e p a r a b l e F r e c h e t s p a c e is a S c h w a r t z s p a c e if a n d o n l y if t h e null s e q u e n c e s in [E • ,(T(E • , E)] a n a in [ E ' . A ™ ] ore t h e s a m e , s e e

fiaj,

[19]. H e n c e w e h a v e :

C3.2) j^f E is a F r e c h e t - S c h w a r t z s p c c e , t h e n it h a s t h e t o p o l o g y o f u n i f o r m c o n v e r g e n c e o n t h e null s e q u e n c e s in [ E¹, ff(E^T , E)] .

In t h i s c a s e w e m a y e v e n c h o o s e a c o u n t a b l e f a m i l y {(f ^) ^{n e B 1}j l^{k s = 1}»² of n u l l s e q u e n c e s in •, C(E ¹ , £)] s u c h t h a t {f ^ \ n€№] C(f ncl&'J h o l d s for e v e r y k a n a t h e U ^k = { f^|ncl№j° form a n e i g h b o r h o o d b a s i s o f z e r o in £ . T h e l o c a l l y c o n v e x i n a u c t i v e limit" of the B a n a c h s p a c e s [E'⁰/C' J

is [^{£ <} 1 ' f ^E)J • d e n o t i n g b y [F,t:l the l o c a l l y c o n v e x i n d u c t i v e l i m i t o f the l i n e a r h u l l s F ^ of the { f^ I n c i t t } , s u p p l i e d w i t h t h e t o p o l o g y i n d u ­ ced f r o m T ^p , a n d e x t e n d i n g s l i g h t l y a n a r o u m e n t of K b t h e , c f . S 3 1 ,

Uk

6.(1) in [24], o n e f i n e s that [F,t] is a s e q u e n t i a l l y d e n s e s u b s p a c e o f fE¹,fi(£^f,£)] . S i n c e a l l F h a v e c o u n t a b l e ( a l g e b r a i c ) d i m e n s i o n , o n e

o b t a i n s :

(3.3) E v e r y F r e c h e t - S c h w a r t z s p a c e is t h e s t r o n g d u a l o f a b o r n o l o g i ­ cal ( D F ) - S c h w a r t z s p a c e of c o u n t a b l e d i m e n s i o n .

F o r d e t a i l s w e r e f e r to [ 2 0 ] .

Let n o w [ E, t: ] b e a n a r b i t r a r y ( H a u s d o r f f ) l o c a l l y c o n v e x s p a c e . T h e family xf of a l l S c h w a r t z t o p o l o g i e s X o n E s a t i s f y i n g J T* T c o n t a i n s

^ ( E f E ' )f h e n c e it is n o n - e m p t y . T h e s u p r e m u m X o f J b e l o n g s to J

o

(seeD-Sl) a n d is c a l l e d t h e S c h w a r t z t o p o l o g y a s s o c i a t e d w i t h TT . C f t e n we w i l l w r i t e E i n s t e a d of f E . t r 3.

o o

The t o p o l o g y T^Q w a s first i n t r o d u c e d a n d s t u d i e d b y R a i k o v £26] • L a t e r c o n t r i b u t i o n s c a n be f o u n d e.g. in C2c3 ,[l4] ,[333 .

The dual of E ^q is E ^F a g a i n . H e n c e w e h a v e , b e s i d e s A ^m, a n o t h e r c o n ­ vex limit s t r u c t u r e A on E¹ w h i c h is d e f i n e d b y [ E^f tA™]²* li™ i n d[ E * - l

° °

%

w h e r e Ti^ is a n e i g h b o r h o o d b a s i s of z e r o in E^q. In e v e r y c a s e ,

A' is c o a r s e r t h a n A™ • E q u a l i t y h o l d s if a n d o n l y if E =* E is t r u e

1 o o

w h i c h is e q u i v a l e n t w i t h t h e statement t h a t E is a S c h w a r t z s p a c e . T h e r e a r e , h o w e v e r , s o m e m o r e c o n n e c t i o n s b e t w e e n A™ a n d A ^m • F i r s t

a

of all, we have t h e f o l l o w i n g c h a r a c t e r i z a t i o n of T (see £14], [33] ) : o

(3.4) T^Q is t h e t o p o l o g y of u n i f o r m c o n v e r g e n c e o n t h e n u l l s e ­ q u e n c e s in [ E •, A^m] -

T h i s y i e l d s t h a t A™ a n d A ^ h a v e a l w a y s the s a m e n u l l s e q u e n c e s , c f . [33] . A l i t t l e m o r e c a n b e s a i a :

(3.5) A™ is the f i n e s t b o r n o l o g i c a l l i m i t s t r u c t u r e o n E' w h i c h d e ­ f i n e s t h e s a m e n u l l s e q u e n c e s as A™.

Using t h e r e s u l t of S c h w a r t z [32] c o n c e r n i n g t h e u l t r a b o r n o l o g i c a l c h a r a c t e r of t h e s t r o n g d u a l of a c o m p l e t e S c h w a r t z s p a c e o n e f i n d s the f o l l o w i n g c h a r a c t e r i z a t i o n of t h e l o c a l l y c o n v e x t o p o l o g y

ftCA™)

o n E ' (cf. Tl] , [33] ) :

(3.6) F o r e v e r y l o c a l l y c o n v e x s p a c e E we h a v e o n E¹

H e r e E ^q d e n o t e s t h e cor.-.pletion of E ^q .

We c a n n o w g i v e a s i m p l e p r o o f of t h e f o l l o w i n g r e s u l t of R a i k o v

£ 6 3 :

On Schwartz spaces and Mackey convergence

(3.7) L e t E be a l o c a l l y c o n v e x s p a c e a n d let F be a B a n a c h s p a c e . The c o n t i n u o u s l i n e a r m a p s f r o m E ^ into F a r e e x a c t l y t h e c o m p a c t l i n e a r m a p s from E into F .

P r o o f . If T : E ^q » F i s c o n t i n u o u s , t h e n it is c o m p a c t a s a m a p T: E * F s i n c e E ^q is a S c h w a r t z s p a c e . C o n v e r s e l y , if T: E — —> F i s a c o m p a c t l i n e a r m a p , t h e n t h e r e is a c o n t i n u o u s s e m i - n o r m p o n E s u c h t h a t T f a c t o r s t h r o u g h a c o m p a c t o p e r a t o r T : E/ p¹( o ) * F ^f

- —I ^ —1 <f w h e r e c/p (o)is n o r m e d in t h e c a n o n i c a l w a y . H e n c e T¹ : F^f • ( E/ p ( o ) J

p

is c o m p a c t w h i c h m e a n s t h a t T^f : F ' • [ E^,, A⁰] *^s c o n t i n u o u s (use ( 3. 4 ) ) .

H e n c e T : E ^q * F is c o n t i n u o u s b y [ l 7 ] .

F r o m ( 3 . 1 ) w e d e d u c e the f o l l o w i n g r e p r e s e n t a t i o n t h e o r e m f o r S c h w a r t z s p a c e s :

( 3 . 8 ) A l o c a l l y c o n v e x s p a c e E is a S c h w a r t z s p a c e if a n d o n l y if it is i s o m o r p h i c w i t h a s u b s p a c e of some p r o d u c t s p a c e GcJI* » I a s u i t a b l y c h o s e n s e t .

H e r e w e d e n o t e b y Uc3 the s p a c e < ^q of a l l s c a l a r null s e q u e n c e s , t o g e t h e r w i t h t h e t o p o l o g y of u n i f o r m c o n v e r g e n c e o n t h e c o m p a c t s u b s e t s of JL^A . T h i s s p a c e , h o w e v e r , is n o t c o m p l e t e . T h e c o m p l e t i o n is t h e s p a c e & , t o g e t h e r w i t h t h e t o p o l o g y of u n i f o r m c o n v e r g e n c e on t h e c o m p a c t s u b s e t s of L , w h i c h is n o t h i n g e l s e b u t t h e M a c k e y t o p o l o g y . S o w e m a y r e p l a c e , in t h e t h e o r e m , fc 3 b y [X ,f( i ,2. )] .

O 00 00 4

We o n l y s c e t c h t h e p r o o f of [233. F o r a n o t h e r p r o o f s e e £ 3 0 ]. F i r s t of a l l , it is c l e a r t h a t is a S c h w a r t z s p a c e a n d t h a t i t s t o p o l o ­ gy is t h e S c h w a r t z t o p o l o g y a s s o c i a t e d w i t h t h e s u p - n o r m t o p o l o g y . If now ((u,¹) . , is t h e f a m i l y of a l l null s e q u e n c e s i n [ E^,, A^m3 f a n d

v v k' kc№ i€l

if E is a S c h w a r t z s p a c e , t h e n w e d e f i n e c o n t i n u o u s l i n e a r m a p p i n g s t-:E PC : x •—> (C-i^x^), ^ffJf w h o s e k e r n e l s c o i n c i d e w i t h t h e k e r n e l s

1 O K K € l № ^

of t h e g a u g e s of t h e c o r r e s p o n d i n g n e i g h b o r h o o d s {u^k|kclHl} in E . If E . d e n o t e s the c o r r e s p o n d i n g q u o t i e n t s p a c e , n o r m e d b y t h e g a u g e , t h e n t. a d m i t s a u n i q u e l i n e a r f a c t o r i z a t i o n T ^ : E ^ ^{W H} * ^{C H} -*-^{S A N} * ^{S O} -

me t r y . I d e n t i f y i n g t h e c o m p l e t i o n E*. of E . w i t h a c l o s e d l i n e a r s u b — s p a c e of ^{w e s e e} that w e n o t o n l y h a v e E = l i m p r o j E . b u t e v e n

~ i d ¹

E » l i m Droj ( E . ) t s i n c e t h e c o m p l e t i o n E of t h e S c h w a r t z s p a c e E is a l s o a S c h w a r t z s p a c e . S i n c e t h e (£". ) a r e s u b s p a c e s of fe] it fol**

~ ¹ ° I °

l o w s t h a t E a n d h e n c e E a r e s u b s p a c e s of {Jc^JJ .

T h e e x i s t e n c e o f a S c h w a r t z s p a c e , u n i v e r s a l i n t h e a b o v e s e n s e , h a s b e e n p r e d i c t e d a l r e a d y b y D i e s t e l , M o r r i s a n d S a x o n i n t h e i r p a ­ p e r O-Ojon v a r i e t i e s o f l o c a l l y c o n v e x s p a c e s .

F r o m ( 3 . 7 ) , ( 3 . 8 ) w e o b t a i n t h e f o l l o w i n g r e s u l t o f R a n d t k e [28] : (2.9) L e t E b e a l o c a l l y c o n v e x s p a c e a n d F a B a n a c h s p a c e . A l i n e a r

m a p T : E • F i s c o m p a c t if a n d o n l y i f t h e r e e x i s t a c l o s e d l i n e a r s u b s p a c e G ^ o £ a n d c o m p a c t l i n e a r m a p s :E * , T •.G- • F s u c h t h a t T = T ^ T , .

2 T 2 1

P r o o f » If T i s c o m p a c t , t h e n i t i s c o n t i n u o u s a s a m a p T : >F.

W r i t i n g E* = l i m p r o j ( E . ) = l i m p r o j E . a s a b o v e w i t h c l o s e d l i n e a r

°

°

~

^

s u b s p a c e s E . o f >c , w e f i n d , t h a t T , t h e e x t e n s i o n o f T t o E . f a c t o r s

X o o

t h r o u g h a c o n t i n u o u s l i n e a r m a p T *. ( E . ) * F f o r s o m e i€ I • T - i s

2 l ' o 2 c o m p a c t a s a m a p T ^ i E ^ * ^ ^{9 t h e c a n o n} i ^{c c ,} l ^{m a} P * ^ i *^{S co m} ~

p a c t , a n d T = T h o l d s .

In h i s o r i g i n a l p r o o f i n £ 2 8 3R a n d t k e u s e d t h e f o l l o w i n g r e s u l t ( s e e

£35] a n d [27] ) :

( 3 . 1 G ) L e t E a n d F b e B a n a c h s p a c e s . A l i n e a r m a p T : E > F i s c o m p a c t if a n d o n l y i f t h e r e i s n u l l s e q u e n c e ( ^{u n} ) ^{n e M} *ⁿ t h e d u a l B a ­ n a c h s p a c e E^f ojF E s u c h t h a t

I T x K s u p{ K uⁿ, x N | n € l N } , V x € E .

T h i s i s n o w a l s o a s i m p l e c o n s e q u e n c e o f ( 3 . 4 ) a n d ( 3 . 7 ) .

4. M A C K E Y C O N V E R G E N C E O F S E Q U E N C E S

L e t E b e a l o c a l l y c o n v e x s p a c e w i t h d u a l E ' . B y B , QT ,.. . w e w i l l a e n o t e c o v e r i n g s o f E c o n s i s t i n g o f b o u n d e d s u b s e t s o f E . W e r e q u i r e

* . e. . . . t o b e s a t u r a t e d , i . e . c l o s e d u n d e r t h e o p e r a t i o n s o f f o r m i n g s u b s e t s , s c a l a r m u l t i p l e s , f i n i t e u n i o n s a n d c l o s e d a b s o l u t e l y c o n v e x c o v e r s o f t h e i r m e m b e r s . T h u s ,... a r e c o n v e x b o r n o l o g i e s o n E . T h e c o r r e s p o n d i n g t o p o l o g i e s o f u n i f o r m c o n v e r g e n c e o n t h e s e t s i n ® ^f 0 , . . . o n E ¹ i s d e n o t e d b y %^ , . . . . N o t e v e r y l o c a l l y c o n v e x t o p o l o ­

g y ^ o n E * s a t i s f y i n g <T(E• ^f E ) £ 4 fi(E \ E ) i s e x p r e s s i b l e i n t h i s w a y s i n c e w e a r e w o r k i n g w i t h a f i x e d d u a l i t y , n a m e l y < E ' , E > .

On Schwartz spaces and Mackey convergence

W i t h e a c h o f t h e a b o v e B w e a s s o c i a t e t h e ( H a u s d o r f f ) b o r n o l o g i c a l l i m i t s t r u c t u r e ^ o n E b y m e a n s o f

[E .ftJ

In a n a l o g y w i t h [ 1 4 ] ,[23] fC33] w e c a l l a S c h w a r t z l i m i t s t r u c t u r e a n d [ k , ^ ] a S c h w a r t z l i m i t s p a c e if f o r e a c h Bc'fc t h e r e i s a Ct7& c o n t a i n i n g

3 s u c h t h a t t h e i n c l u s i o n m a p [ E , t r J ^fe , t j i s p r e c o r n p a c t . If F i s a S c h w a r t z s p a c e , t h e n [F',A ] i s a S c h w a r t z l i m i t s p a c e . M o r e o v e r :

( 4 . 1 ) i s a S c h w a r t z l i m i t s t r u c t u r e o n E i f a n d o n l y if 7 ^ i s a S c h w a r t z t o p o l o g y o n E¹.

F o r a r b i t r a r y *B , w e d e n o t e b y tt^ t h e s a t u r a t e d h u l l o f t h e s y s t e m of a l l n u l l s e q u e n c e s i n [E,A^. (if T i s t h e f i n e s t l o c a l l y c o n v e x t o p o ­

l o g y o n E s u c h t h a t e v e r y _{B c f t} i s T- b o u n d e d , t h e n t h e n u l l s e q u e n c e s _{i n} [ E, ^ J a r e j u s t t h e M a c k e y n u l l s e q u e n c e s [24] i n [E , t] - It i s e a s y t o s e e

t h a t f holds). W e h a v e 7b - B ( s e e \X4], [ 2 3 ] . [ 3 3 ] ) . M o r e o v e r :

© o 00

( 4. 2 ) i s a S c h w a r t z l i m i t s t r u c t u r e o n E . It i s t h e f i n e s t b o r ~ n o l o g i c a l l i m i t s t r u c t u r e o n E w h i c h d e f i n e s t h e s a m e n u l l S e ­ q u e n c e s t h a n

A s a n o t h e r c o n s e q u e n c e w e g e t :

( 4 . 3) i s t h e f i n e s t S c h w a r t z t o p o l o g y o n E ¹ w h i c h i s c o a r s e r t h a n %^ a n d w h i c h i s s i m u l t a n e o u s l y a n 6- t o p o l o g y i n t h e s e n s e d e f i n e d a b o v e .

If *(E* ⁹E) , t h e n w e h a v e o f c o u r s e 7 ^ « * ^{8 u t i n} S ^{e n} * ~ ral o n l y 4 C ? i g )^o i s t r u e , a n d b o t h t o p o l o g i e s m a y v e r y w e l l b e d i f f e r e n t , s e e [ 3 3 ^ .

O f c o u r s e , ^ i s a S c h w a r t z l i m i t s t r u c t u r e i f a n d o n l y if i t cd«%

i n c i d e s w i t h •

•o

L e t n o w £ d e n o t e t h e d u a l o f t h e l o c a l l y c o n v e x s p a c e C E¹ * S i n c e

< r ( E

E ) ^ 7

S c h w a r t z l i m i t s p a c e .

W e a r e m a i n l y i n t e r e s t e d i n t w o s p e c i a l c a s e s o f t h e a b o v e s i t u - a t i o n . N a m e l y , we t a k e f o r 3 t h e s y s t e m « £ o f a l l b o u n d e d s u b s e t s o f E ( t h e v o n N e u m a n n b o r n o l o g y i n £ l 3 3) , o r w e t a k e f o r B t h e s a t u r a t e d h u l l C o f a l l a b s o l u t e l y c o m p a c t s u b s e t s o f E . T h e n u l l s e q u e n c e s o f

[ E t X J l a r e t h e M a c k e y n u l l s e q u e n c e s o n E , c f#C 2 4 l - T h e n u l l s e q u e n c e s o f T ^ t A g l a r e t h e f a s t n u l l s e q u e n c e s i n t r o d u c e d b y d e v;ilde Cs3^tCs3 .

F o l l o w i n g K b t h e [24] w e d e n o t e t h e t o p o l o g y ? ^ o n E ' b y <tT^c ( E^f, E ) .

S i m i l a r l y , w e w r i t e V ( E¹, E ) i n s t e a d o f 7_, . T h e s e t w o t o p o l o g i e s a r e S c h w a r t z t o p o l o g i e s , a f a c t w h i c h s e e m s t o h a v e b e e n c o m p l e t e l y o v e r l o o k e d d u r i n g t h e d e v e l o p m e n t o f t h e t h e o r y o f b o r n o l o g i c a l a n d u l t r a b o r n o l o g i c a l s p a c e s .

It i s q u i t e c l e a r t h a t t ( E^f, E ) i s i n d e p e n d e n t f r o m t h e s p e c i a l c

c h o i c e o f t h e t o p o l o g y o n E w h i c h i s o n l y r e q u i r e d t o b e c o n s i s t e n t w i t h t h e d u a l i t y < E , E * > . T h e s a m e r e s u l t i s t r u e f o r V ( E ' . E ) , b u t t h i s i s l e s s o b v i o u s . O n e p r o o f o f t h i s u s e s t h e f a c t t h a t i n a B a - n a c h s p a c e o r e v e n i n a F r e c h e t s p a c e e v e r y n u l l s e q u e n c e c o n v e r g e s f a s t . B u t t h i s r e s u l t i s p r o v e d b y m a k i n g a m o r e o r l e s s c o m p l e t e c o p y o f t h e c o r r e s p o n d i n g p r o o f o f t h e f a c t t h a t i n a m e t r i z a b l e

l o c a l l y c o n v e x s p a c e e v e r y n u l l s e q u e n c e i s a M a c k e y n u l l s e q u e n c e . T h e r e i s , h o w e v e r , a n o t h e r w a y t o g e t t h e d e s i r e d r e s u l t a n d e v e n a

l i t t l e m o r e ( s e e [¡333 ) :

( 4 . 4 ) X^c ( E ' , E ) i s t h e f i n e s t S c h w a r t z t o p o l o g y o n E1 w h i c h i s a n ff-topology i n o u r s e n s e .

( E ' , E ) i s t h e f i n e s t S c h w a r t z t o p o l o g y o n E⁹ w h i c h i s c o n - s i s t e n t w i t h ( E ^{1 t}E ) , i . e .

V ( E ' , E ) = ( t( E ' , E ) ) .

cf o

P r o o f . T h e f i r s t s t a t e m e n t f o l l o w s f r o m ( 4 . 3 ) . T o p r o v e t h e s e c o n c o n e , w e o b s e r v e f i r s t t h a t V ( E^ffE ) 4 ( t ^ E ' t E ) ) i s a t r i v i a l i t y .

C _p o L e t u s c e n o t e b y C t h e s a t u r a t e d h u l l o f t h e s y s t e m o f a l l a b s o l u - t e l y c o n v e x , c o m p a c t s e t s i n [ E , f f ( E , E¹ )1 . T h e n w e h a v e ( T( E ' , E ) ) = 7 ^ .

0 #

If ^^{x n})ⁿ£ [ j ^ *^{s a} s e q u e n c e i n[ E^f^ y ] w e f i n d s o m e a b s o l u t e l y c o n v e x C( E^tE ') - c o m p a c t s e t K C E s u c h t h a t (^{x n})^{n € K}[ ^^{s a} n u l l s e q u e n c e i n t h e

On Schwartz spaces and Mackey convergence

c o v e r o f ( x /nc/Wi}is c o m p a c t i n E . S o w e g e t ( t( E^f , E ) ) t% * tr(E ¹ , E ) ,

v n O £

h e n c e T (E • ^f E ) = (?*) = ( * ( E '^fE ) ) .

c f +o * ° °

a s a c o r o l l a r y w e o b t a i n :

( 4 . 5 ) [ E . O^ E. E ' ) ] a n a [ E , T( E , E ' )] h a v e t h e s a m e f a s t n u l l s e q u e n c e s . 5. A P P L I C A T I O N S T O B O R N O L O G I C A L A N D U L T R A B O R N O L O G I C A L S P A C E S

A l o c a l l y c o n v e x s p a c e E i s s a i d to s a t i s f y t h e M a c k e y c o n v e r g e n c e c o n d i t i o n ( M C C ) if e v e r y n u l l s e q u e n c e i n E i s a M a c k e y n u l l s e q u e n c e . E s a t i s f i e s t h e f a s t c o n v e r g e n c e c o n d i t i o n ( F C C ) if e v e r y n u l l s e q u e n ­ c e in E is e v e n f a s t c o n v e r g e n t . E v e r y m e t r i z a b l e l o c a l l y c o n v e x s p a ­ ce s a t i s f i e s M C C a n d is e a s i l y s e e n t o s a t i s f y F C C if a n d o n l y i f i t is a F r e c h e t s p a c e . M o r e o v e r , t h e r e a r e e v e n c o m p l e t e ( D F M ) - s p a c e s w h i c h a o n o t s a t i s f y M C C . F o r d e t a i l s w e r e f e r to [33j) .

T h e p r o b l e m o f g i v i n g a p r e c i s e i n t e r n a l c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h o s e l o c a l l y c o n v e x s p a c e s w h i c h s a t i s f y M C C (or F C C ) i s s t i l l o p e n . B u t s o m e t h i n g c a n b e s a i d i n t h e c a s e of b o r n o l o g i c a l o r u l t r a b o r n o l o g i - c a l s p a c e s , a s w e s h a l l s e e b e l o w .

F i r s t o f a l l , t h e a b o v e r e s u l t s y i e l d a s i m p l e d u a l c h a r a c t e r i z a ­ t i o n o f t h e s p a c e s i n q u e s t i o n . If ( E' t E ) i s t h e t o p o l o g y o f u n i ­ f o r m c o n v e r g e n c e o n a l l n u l l s e q u e n c e s i n t h e l o c a l l y c o n v e x s p a c e E ^t t h e n o n e h a s ( c f . [33) ) :

(5.1) E s a t i s f i e s M C C if a n d o n l y if * ( E¹, E) i s a S c h w a r t z t o p o l o g y * E s a t i s f i e s F C C if a n d o n l y if V(E¹,E) i s a S c h w a r t z t o p o l o g y a n d c o n s i s t e n t w i t h t h e d u a l i t y < E ' , E > .

A s a n e a s y c o n s e q u e n c e i t f o l l o w s t h a t e v e r y ( D S ) - s p a c e ( s e e [34)) s a t i s f i e s M C C , a n d t h a t in t h e s e s p a c e s e v e r y b o u n d e d ( = p r e c o u « p a c t ) s u b s e t i s c o n t a i n e d i n t h e c l o s e d a b s o l u t e l y c o n v e x h u l l o f s o m e n u l l — s e q u e n c e .

W e n o w t u r n t o b o r n o l o g i c a l a n d u l t r a b o r n o l o g i c a l s p a c e s a n d r e f * № o n s o m e o f t h e r e s u l t s r e c e n t l y p r o v e d i n [22! .

A l o c a l l y c o n v e x s p a c e £ i s b o r n o l o g i c a l ( u l t r a b o r n o l o g i c a l ) i f a n d o n l y i f i t h a s i t s M a c k e y t o p o l o g y a n d X (£',£) ( f ( E^{f f}E ) )

Co ^cf

i s c o m p l e t e ([24] ^#[9]) .

T o b e g i n w i t h , l e t E b e b o r n o l o g i c a l . T h e n J j E' . f ( E ' , E ) 3 is a corn- c

p i e t e S c h w a r t z s p a c e . H e n c e i t i s s e m i - r e f l e x i v e , a n d i t s d u a l £ i s u l t r a b o m o l o g i c a l w i t h r e s p e c t t o T ( £ , E ¹ ) = E ^f E ¹ ) ( [ l 5] , ( 2 2 3 ) . U s i n g t h e G r o t h e n d i e c k c o n s t r u c t i o n o f t h e c o m p l e t i o n E o f E w e s e e t h a t c

i s i s o m o r p h i c w i t h a s u b s p a c e o f E . T h u s T( E^fE ' ) i n d u c e s V(E⁹E*) o n

£ w h i c h i s t h e o r i g i n a l t o p o l o g y s i n c e E i s b o r n o l o g i c a l .

S y ( 3 . 8 ) w e m a y i d e n t i f y J E1 fC ( E" , E ) 3 w i t h a c l o s e d s u b s p a c e o f t h e i ^

p r o d u c t \.Z^m9^€C{tmtZi )1 1 w h e r e I i s ° a s u i t a b l y c h o s e n s e t . F r o m d u a l i t y t h e o r y ( s e e e.g. {24]) it f o l l o w s t h a t w e m a y r e g a r d f E , V(E, E ¹ )J a s a c e r t a i n q u o t i e n t s p a c e ©jE^u . H e n c e E o c c u r s a s a d e n s e s u b s p c c e o f t h i s q u o t i e n t . W r i t i n g t h e d i r e c t s u m a s t h e l o c a l l y c o n v e x i n ­ d u c t i v e l i m i t l i m Z* , Zfi^G^Zj , w h e r e oc r a n g e s o v e r a l l f i n i t e s u b - s e t s o f I, w e g e t a r e p r e s e n t a t i o n o f t h e u l t r a b o r n o l o g i c a l s p a c e IZ.

o f t h e f o r m c = l i m w h e r e i s t h e s e p a r a b l e B a n a c h s p a c e i^f \QfS4^) • S o w e h a v e :

( 5 . 2 ) E v e r y b o r n o l o g i c a l s p a c e E i s i s o m o r p h i c t o a d e n s e s u b s p a c e of a l o c a l l y c o n v e x s p a c e E w i t h t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s :

V a) E i s u l t r a b o r n o l o g i c a l a n d c a n b e w r i t t e n i n t h e f o r m a = 1^lm w i t h s e p a r a b l e B a n a c h s p a c e s E^K .

(k) E v e r y M a c k e y n u l l s e q u e n c e i n E c a n b e c o n s i d e r e d a s a n u l l s e q u e n c e i n s o m e .

'.Vorking w i t h V ( E ' . E ) i n s t e a d o f T ( E^., E ) a n d u s i n g t h a t t h i s t o -

c ~ c

p o l o g y i s c o n s i s t e n t w i t h ^ E ' . E ^ w e o b t a i n i n t h e s a m e m a n n e r :

( 5 . 3 ) E v e r y u l t r a b o r n o l o g i c a l s p a c e E h a s a r e p r e s e n t a t i o n a s t h e i n ­ d u c t i v e l i m i t £ = l_im o f s e p a r a b l e B a n a c h s p a c e s s u c h t h a t e v e r y f a s t n u l l s e q u e n c e i n E c o n v e r g e s i n s o m e .

A n a m a k i n g u s e o f t h e c o n s t r u c t i o n of t h e E _ w e f i n d :

( 5 . 4 ) A n u l t r a b o r n o l o g i c a l s p a c e E s a t i s f i e s F C C if a n a o n l y i f i t i s i s o m o r p h i c t o s o m e q u o t i e n t QXt/Q s u c h t h a t t h e c o r r e s p o n d i n g q u o t i e n t m a p i s s e q u e n t i a l l y i n v e r t i b l e .

Of c o u r s e , e v e r y s p a c e o f t h e a b o v e t y p e i s s e q u e n t i a l l y c o m p l e t e .

On Schwartz spaces and M a c k e y convergence

L I T E R A T U R E

1. B E R E Z A N S K I I , I. A . : I n d u c t i v e l y r e f l e x i v e , l o c a l l y c o n v e x s p a c e s . D o k l . A k a d . N a u k S S S R 1 8 2 , 2 0 - 2 2 ( 1 9 6 9 ) . E n g l i s h t r a n s l , i n S o v i e t M a t h . D o k l . 9 , 1 0 8 0 - 1 0 8 2 ( 1 9 6 9 ) .

2 . B I N Z , E . , K E L L E R , H . H . : F u n k t i o n e n r ä u m e i n d e r K a t e g o r i e d e r L i - m e s r ä u m e . A n n . A c . S c i . F e n n i c a e , A I 3 8 3 ( 1 9 6 6 ) .

3 . B O U R B A K I , N . : E s p a c e s v e c t o r i e l s t o p o l o g i q u e s , c h a p . 3 - 5 . P a r i s : H e r m a n n 1 9 6 7 .

4. B U C H W A L T E R , H . : T o p o l o g i e s e t c o m p a c t o l o g i e s . P u b l . D é p t . M a t h . L y o n 6 - 2 , 1 - 7 4 ( 1 9 6 9 ) .

5 . B U C H W A L T E R . H . : E s p a c e s l o c a l e m e n t c o n v e x e s s e m i - f a i b l e s . I n t h i s L e c t u r e N o t e .

6. B U T Z M A N N , H . P . : Ü b e r d i e c - R e f l e x i v i t c t v o n CC ( X ) . C o m m e n t . M a t h . H e l v . 4 7 , 9 2 - 1 0 1 ( 1 9 7 2 ) .

7 . C O O K , C . H . , F I S C H E R , H . R . : O n e q u i c o n t i n u i t y a n d c o n t i n u o u s c o n - v e r g e n c e . M a t h . A n n . 1 5 9 , 9 4 - 1 0 4 ( 1 9 6 5 ) .

8 . D E W I L D E , M . : R é s e a u x d a n s l e s e s p a c e s l i n é a i r e s à s e m i - n o r m e s . M é m . S o c . R o y . S c L i è g e , 5e s é r . , 1 8 , 2 , 1 9 6 9 .

9. D E W I L D E , M . : U l t r a b o r n o l o g i c a l s p a c e s a n d t h e c l o s e d g r a p h t h e o r e m . B u i l l . S o c . R o y . S c . L i è g e 4 0 , 1 1 6 - 1 1 8 ( 1 9 7 1 ) .

10. D I E S T E L , J., M O R R I S , S . A . , S A X O N , S . A . : V a r i e t i e s o f l o c a l l y c o n v e x t o p o l o g i c a l v e c t o r s p a c e s . B u l l . A M S , 7 7 , 7 9 9 - 8 0 3 ( 1 9 7 1 ) .

1 1 . F I S C H E R , H . R . : L i m e s r ä u m e .

M a t h . A n n . 1 3 7 , 2 6 9 - 3 0 3 ( 1 9 5 9 ) .

1 2 . F L O R E T , K . : L o k a l k o n v e x e S e q u e n z e n m i t k o m p a k t e n A b b i l d u n g e n . J o u r n . R e i n e A n g e w . M a t h . 2 4 7 , 1 5 5 - 1 9 5 ( 1 9 7 1 ) .

1 3 . H O G B E — N L E N D , H . : T h é o r i e d e s b o r n o l o g i e s e t a p p l i c a t i o n s . L e c t u r e N o t e s 2 1 3 , S p r i n g e r 1 9 7 1 .

1 4 . H O G B E - N L E N D , H . : T o p o l o g i e s e t b o r n o l o g i e s n u c l é a i r e s a s s o c i é e s . T o a p p e a r i n A n n . I n s t . F o u r i e r .

1 5 . H O R V A T H . J . : T o p o l o g i c a l v e c t o r s p a c e s a n d d i s t r i b u t i o n s , I . R e a d i n g , M a s s . : A d d i s o n — W e s l e y 1 9 6 6 .

1 6 . J A R C H O W , H . : M a r i n e s c u - R ä u m e .

C o m m e n t . M a t h . H e l v . 4 4 , 1 3 8 - 1 6 4 ( 1 9 6 9 ) . 1 7 . J A R C H O W , H . : D u a l i t ä t u n d M a r i n e s c u - R ä u m e .

M a t h . A n n . 1 8 2 , 1 3 4 - 1 4 4 ( 1 9 6 9 ) .

1 8 . J A R C H O W . H . : Z u r T h e o r i e d e r q u a s i t o n n e l i e r t e n R ä u m e . M a t h . A n n . 1 9 1 , 2 7 1 - 2 7 8 ( 1 9 7 1 ) .

1 9 . J A R C H O W . H . : D u a l e C h a r a k t e r i s i e r u n g e n d e r S c h w ä r t z — R ä u m e . M a t h . A n n . 1 9 6 , 8 5 - 9 0 ( 1 9 7 2 ) .

2 0 . J A R C H O W , H . : B a r r e l l e d n e s s a n d S c h w a r t z s p a c e s . M a t h . A n n . 2 0 0 , 2 4 1 - 2 5 2 ( 1 9 7 3 ) .