Feuille d'exercices 17. Espaces vectoriels réels
Exercice I.
1. SoitA∈ M3(R)xée, etE ={M ∈ M3(R)|M A= 03}. Montrer que E est un s.e.v. de M3(R).
2. SoitB∈ Mn(R)xée, etF ={M ∈ Mn(R)|BM−2M B= 0n}. Montrer queF est un s.e.v. deMn(R). Exercice II.
On considère les sous-ensemblesE = x
x
∈ M2,1(R)
x∈R
etF = 2x
x
∈ M2,1(R)
x∈R
de M2,1(R).
1. Montrer que ce sont deux sous-espaces vectoriels deM2,1(R).
2. Trouver un vecteur générateur de E, deF, et les représenter graphiquement.
3. Déterminer E∩F.
4. Est-il possible que deux sous-espaces vectoriels soient d'intersection vide ? 5. Déterminer E∪F. Est-ce un espace vectoriel ?
Exercice III.
Les ensembles suivants sont-ils des espaces vectoriels ? On essaiera de montrer que ce sont des sous-espaces vectoriels d'espaces vectoriels classiques.
S'il s'agit d'espaces vectoriels, en déterminer une base, et la dimension.
F1= 1
x
∈ M2,1(R)
x∈R
F2= x
y
∈ M2,1(R)
x+ 2y= 0
F3= x
y
∈ M2,1(R)
x2+y= 0
F4=
P ∈R3[X]
P(0) =P0(0) = 0
F5=
P ∈R2[X]
P(2) = 0
F6=
P ∈R3[X]
P(0) = 1
F7=
3x
−4x+ 1 2x
∈ M3,1(R)
x∈R
F8 =
x y z
∈ M3,1(R)
2x+ 3y−5z= 0
F9 =
x y z
∈ M3,1(R)
−x+ 3y= 0 etz+ 2x= 0
F10=
x y z
∈ M3,1(R)
y z x
+ 2
x y z
= 3
z x y
F11=
a b c 0 a b 0 0 a
∈ M3(R)
(a;b;c)∈R3
F12=
x y z
∈ M3,1(R)
4x+ 3y−z= 0 et2x+y−5z= 0
F13=
x y z
∈ M3,1(R)
−4x+zy = 0
Exercice IV.
Parmi les vecteurs qui suivent, déterminer ceux qui sont combinaison linéaire dee1=
1
−1 2
ete2 =
1 1
−1
. u1 =
3 1 0
u2 =
4 1 0
u3=
−1
−3 4
u4 =
1
−5 8
u5 =
10
−2 9
u6=
10
−4 11
1
Exercice V.
On considère les vecteurs u=
−4 4 3
,v=
−3 2 1
,s=
−1 2 2
ett=
−1 6 7
. Montrer que V ect(u, v) =V ect(s, t).
Exercice VI.
Déterminer l'ensemble des réelsk tels que la famille
1 k 2
;
−1 8 k
;
1 2 1
de M3,1(R)soit liée.
Exercice VII.
On considère la famille (v1, v2, v3) deM3,1(R), où v1=
1 1
−1
,v2 =
2 1 3
etv3 =
0
−1 5
. 1. Est-elle libre ? Si non, quelle relation lie ces vecteurs ?
2. Est-elle génératrice ? Exercice VIII.
Pour chacune des familles (ui)1≤i≤nsuivantes, déterminer si elles sont libres, génératrices, des bases, de l'espace vectoriel proposé :
1. u1 = 1
−1
etu2 = 3
−2
, dans M2,1(R). 2. u1 =
1
−1
etu2 = −3
3
, dans M2,1(R).
3. u1 =
1 1 1
,u2 =
1 1
−1
etu3=
1
−1 1
, dans M2,1(R).
4. u1 =
1 1 1
,u2 =
1 1
−1
etu3=
1
−1 1
, dans M3,1(R).
5. u1 =
1 1 1
,u2 =
1 2 2
etu3=
1 2 3
, dans M3,1(R).
6. u1 =
1 0 1
etu2=
0 1 1
, dans M3,1(R).
7. u1 =
1 1 1
,u2 =
1
−2
−2
etu3=
3
−1
−1
, dans M3,1(R).
8. u1 =
1 5
−3
,u2 =
−3 4
−7
,u3=
6
−2 0
etu4 =
0
−1
−7
, dans M3,1(R).
9. u1 =
1 5
−3
−2
,u2 =
−3 4 0
−7
,u3=
6
−2
−1 0
etu4 =
0
−1 4
−7
, dans M4,1(R).
2
Exercice IX.
1. Soit la famille(e1, e2, e3), oùe1 =
1 1 0
,e2 =
1 2 1
ete3 =
2 3 2
.
a. Montrer de deux manières diérentes que cette famille est une base deM3,1(R). b. Déterminer les coordonnées du vecteurX=
0 1
−2
dans cette base.
2. Mêmes questions avec e1 =
0 1 1
,e2 =
2 0
−1
ete3 =
2 1 1
, et le vecteurX=
1
−2
−1
. Exercice X.
DansM2(R), on considère les matrices A= 1 0
0 0
,B = 1 1
0 0
,C= 1 1
1 0
etD= 1 1
1 1
. 1. Montrer que la famille(A, B, C, D) est une base deM2(R).
2. Donner les coordonnées de M =
2 −1 4 3
dans cette base.
Exercice XI.
On considère l'ensembleR3[X]des polynômes de degré inférieur ou égal à3.
On considère également les polynômes P(X) = 2,Q(X) =X2−4X etR(X) =−2X3+X2. 1. Donner une base et la dimension deR3[X].
2. La famille(P, Q, R) est-elle génératrice deR3[X]? Justier.
3. La famille(P, Q, R) est-elle libre ? Justier.
4. Compléter cette famille an d'obtenir une base de R3[X].
Exercice XII.
DansR3, on considère les vecteurs u= (1; 2; 3) etv= (3; 2; 1). 1. La famille(u, v) est-elle une base deR3?
2. Quelle est la dimension du sous-espace vectoriel F =V ect(u, v)? La famille(u, v) en est-elle une base ? 3. Le vecteur x= (2; 5; 8)appartient-il àF? Si oui, donner ses coordonnées dans la base(u, v).
4. Même question avec le vecteur y= (5;−3;−12).
Exercice XIII.
1. Déterminer la dimension du sous-espace vectoriel de M2(R) engendré par : A=
1 1 0 1
,B = 0 0
1 0
etC = 2 2
2 2
.
2. Déterminer la dimension du sous-espace vectoriel de M3,1(R) engendré par : v1=
1 2
−1
,v2 =
3
−1 2
,v3 =
4 1 1
etv4=
2
−3 3
.
3
