t  )s(t ) e(t)s( ASSERVISSEMENTS:2 ORDRE Cequ’ilfautsavoirsur!

Sciences de l’ingénieur

Ce qu’il faut savoir sur !

cqfsordre2 LycéeJacques Amyot

Auxerre 07/11/2008 Page 1 sur 1

ASSERVISSEMENTS : 2

^ND

ORDRE

1) FORME CANONIQUE :

2 2

1 1 2

) (

p a p

p K H

n n





 





 

Avec les paramètres caractéristiques : K : Gain statique

_n: pulsation propre du système non amorti (rad/s) a : coefficient d’amortissement

2) REPONSE A UN ECHELON : L’entrée échelon est définie par :

e(t) =A.u(t)

Lorsque A est égal à 1 on parle d’échelon unitaire.

L’image de e(t) dans le domaine de Laplace est :

p

p A E ( ) 

Dans le cas unitaire la réponse symbolique du système est de la forme :

 ^{p a K p}  ^p

p S

n n

n















₂



² ₂

) 2

(  



La forme de la réponse réelle dépend de la valeur de a :

Si a>1 : régime apériodique :

 







 







 





 



   

 







1 ^1 2 ^2 1

2

1 1 )

( 

^



^





t t

e e

K t s

Si a=1 : régime apériodique critique :

 





 



   





^{ }



t t

t e e K t

s ( ) 1

L’allure des réponses est la suivante :

Si a<1 : régime pseudo-oscillatoire :

 





 



 

 

 

    

 







^

 a t  a

K e t

s

_n

t a _n

2

2

sin 1

1 1 )

(

2.1) Rapidité : t5% : un système du 2^ndordre est d’autant plus rapide que sa valeur dea est proche de 0.7 2.2) identification graphique des paramètres caractéristiques pour a<1

Détermination de a :

Mesurer s(td1) puis calculer le pourcentage D_1%:



) ( ) (

1

%

1





  s

s t

D s

^D

Après étude de s(t) on trouve :

1 2

% 1

a a

e

D

^









Ce qui donne tous calculs faits :

2

% 1 2

% 1

)) (ln(

) ln(

D a D

 



Détermination den:

Après étude de s(t) on trouve :

1 2

1 a t

n

D

  





donc :

2

1

1 a

t

_D

n

   



0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3

 1 a

 1

a a  1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3

e(t)

s() s(t_D1)

(t )



s

t_D1