Objectif : Inscrire le plus grand pentagone régulier dans un hexagone régulier de côté 1.
Voici une meilleure configuration possible
Les points G, H, J et K appartiennent à l'hexagone.
Comment placer ces points ?
Il faut tout d'abord que : ̂AGH=12°.
Ensuite, il faut déterminer la position du point G et par conséquent la longueur GF que l'on notera d . On notera aussi p la longueur du côté du pentagone régulier et enfin l la longueur MG (où M est l'intersection de (HG) et de la parallèle à (AH) passant par F).
Avec la loi des sinus dans le triangle AHG on a : p
sin(120°)= 1−d
sin(68°) ou encore p×sin(68°)=(1−d)×sin(120°) (1)
D'autre part en utilisant le théorème de Thalès dans la configuration de triangles AHG, FMG on a : GF
GA=MG GH d'où
d 1−d= l
p ou encore p×d=l(1−d) (2)
Enfin en utilisant le théorème de Thalès dans la configuration des triangles RFE, RGK on a : RF
RG=FE
GK , en remarquant que RFE est équilatéral on a alors : 1 1+d=1
p ou encore p=1+d (3) On peut alors résoudre le système d'équations (1), (2), (3) à 3 inconnues.
On a alors : d=
√
3−2 sin(415π)√
3+2 sin(415π)≈0.76363.
Avec cela on a un côté du pentagone qui vaut environ : p≈1.07636… Et au final :
