A805 - Les racines cubiques avec une simple calculette

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A805 - Les racines cubiques avec une simple calculette

Solution

Existence de deux mémoires

A partir de la relation 1/4 + 1/16 +1/64 + ….. + 1/4 +… = ⁿ



^^

 k

1 k

1/4k = 1/4/(1-1/4) = 1/3, on déduit que a^1/3a^1/4.a^1/16.a^1/64.... sachant que lim(a^1/4ⁿ)=1 quand n .

Le calcul de la racine cubique d’un nombre quelconque a > 0 peut donc s’effectuer à l’aide de la multiplication et de la racine carrée seulement.

C’est ainsi qu’on calcule d’abord b₁ a puis b₂  b₁ d’où c₂ b₂.b₁ puis b₃ b₂ d’où c₃b₃.c₂… et d’une façon générale b_i  b_i_₁ qui permet de calculer c_i b_i.c_i_₁ avec la précision désirée en fonction des capacités de la calculette.

Existence d’une seule mémoire

On part de l’égalité x³ a avec x la racine cubique recherchée du nombre a. On peut écrire ax

x⁴  . D’où x ax qui fait penser à la formule de récurrence x_n  ax_n_₁ dont on démontre que c’est le terme général d’une suite convergente quel que soit a nombre réel positif.

A partir de x =1, on obtient ₀ x₁ a puis x₂  ax₁ puis x₃ ax₂ etc.. jusqu’à ce que la précision voulue soit atteinte.

Les deux méthodes convergent de la même manière comme le montre le tableau comparatif ci-après. La deuxième méthode est probablement la plus adaptée sur la plupart des calculettes car celles qui ont une double mémoire sont rares.

a= 126

i 2ème méthode

b(i) c(i) x

1 3,3503689588345 3,3503689588345 3,3503689588345 2 1,3529232464815 4,5327920486971 4,5327920486971 3 1,0784953818179 4,8885952912609 4,8885952912609 4 1,0190713039203 4,9818271778037 4,9818271778037 5 1,0047341021701 5,0054116566571 5,0054116566571 6 1,0011814302270 5,0113252012865 5,0113252012865 7 1,0002952267927 5,0128046787530 5,0128046787530 8 1,0000737985284 5,0131746163616 5,0131746163616 9 1,0000184491216 5,0132671050295 5,0132671050295 10 1,0000046122485 5,0132902274630 5,0132902274630 11 1,0000011530601 5,0132960080881 5,0132960080881 12 1,0000002882649 5,0132974532454 5,0132974532454 13 1,0000000720662 5,0132978145348 5,0132978145348 14 1,0000000180166 5,0132979048571 5,0132979048571 15 1,0000000045041 5,0132979274377 5,0132979274377 16 1,0000000011260 5,0132979330829 5,0132979330829 17 1,0000000002815 5,0132979344942 5,0132979344942 18 1,0000000000704 5,0132979348470 5,0132979348470 19 1,0000000000176 5,0132979349352 5,0132979349352 20 1,0000000000044 5,0132979349572 5,0132979349572

1ère méthode