On considère l’ensemble E des entiers naturels n≤ 2013 tels que le produit des diviseurs propres*
de n est égal à une puissance entière k > 0 de n. Par convention,on dit que l’empan de n est égal à k. Par exemple l’entier 12 appartient à E : avec ses diviseurs propres 1,2,3,4 et 6 qui ont pour produit 144 = 12² et son empan est égal à 2. A l’inverse le carré parfait 25 dont le produit des diviseurs propres est égal à 5 et le nombre premier 13 dont le seul diviseur propre est 1 ne font pas partie de E.
Quatre entiers A, B, C et D pas nécessairement pris dans cet ordre et appartenant à E forment une progression arithmétique.
A : « Mon empan est pair. »
B : « J’ai sans conteste le plus grand empan dans E . »
C : « Je suis plus petit que A mais j’ai le même empan que lui. »
D : « Parmi les entiers de E supérieurs à B comme moi, tous ont un empan différent du mien. » Qui sommes-nous ?
À chaque diviseur propre de n non premier, peut être associé un autre diviseur propre tel que leur produit est égal à n ; ces deux diviseurs sont distincts si et seulement si n n’est pas un carré : en ce cas, le produit des diviseurs propres de n est une puissance k de n ; l’empan k est alors égal à la moitié moins un du
nombre de diviseurs.
Parmi les nombres inférieurs ou égaux à 2013, celui qui a le plus grand nombre (40) de diviseurs est 1680=23*3*5*7, soit un empan de 19 ; donc B=1680.
Parmi les nombres supérieurs à 1680, deux ont des empans uniques : 1872 (14) et 1728 (13). A partir de ces deux valeurs possibles de D, on peut avoir pour chacun des couples C et A, les valeurs possibles (pour constituer une progression arithmétique) :
(1296, 1488) (1584, 1776) (1744, 1808) (1776, 1968) ;
(1584, 1632) (1656, 1704) (1696, 1712) (1704, 1752) (1632, 1776) (1776, 1824).
Parmi ces couples, (1744, 1808), (1776, 1968) et (1704, 1752) ont même empan (resp. 4, 9 et 7), seul le premier étant pair : la solution est donc A=1808, B=1680, C=1744, D= 1872.
