D10018. Espace maximum
Comment placer quatre candidats dans une salle triangulaire, en maximisant la plus petite des distances entre deux candidats ?
(On assimilera `a un point chaque candidat avec sa table.) Solution
Soit ABC le triangle, en supposant que les angles (en degr´es) se classent dans l’ordreC≤B≤A.
– Si 30≤C ≤B ≤A≤90, placer les candidats enA, B, C etO, centre du cercle circonscrit ; la plus petite distance estR =OA =OB = OC, rayon du cercle circonscrit.
– SiB < A <3C <90, on peut encore placer les candidats enA, B, CetO; la plus petite distance est AB = 2RsinC < R =OA = OB =OC. Cette plus petite distanceAB < Rpermet des positions un peu diff´erentes autour de O etC.
– Dans les autres cas, placer les candidats enB, C,M surBC, et enL(sur AB siB <2C, sur AC sinon), d´efinis par les angles
CBL=BM L= 2BCL= min(B,2C).
Les distances sontBL=LM =M C = BC
1 + 2 cos(min(B,2C)).
Remarque. SiA =B ou B =C, il peut y avoir plusieurs solutions ´equiva- lentes obtenues par sym´etrie.
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