D149
Notons (p;1p) les coordonnées deP oùpest un réel non nul.
Q(−p;−p1) est le symétrique de P par rapport àO, et nous avonsQP = 2OP. Par construction,P est le centre du cercle circonscrit au triangleABCd’équa- tion (x−p)2+ (y−1p)2= 4(p2+p12).
Q, A, BetC étant aussi sur (H), ils vérifient donc de plus l’équationy= 1x. En multipliant parx2p2et en développant, il vientx4p2−2x3p3−3x2(p4+ 1)− 2xp+p2= 0.
Connaissant les coordonnées du point Q, nous en déduisons la factorisation (x+p)(x3p2−3x2p3−3x+p) = 0.
Les coordonnées des points A(xA;yA), B(xB;yB) et C(xC;yC) sont donc les racines des polynômesx3p2−3x2p3−3x+p=y3p−3y2−3yp3+p2= 0.
D’oùxA+xB+xC= 3petyA+yB+yC =3p, c’est-à-dire−→OA+−−→OB+−−→OC= 3−−→OP. P est donc également le centre de gravité du triangleABC, ce qui est caracté- ristique d’un triangle équilatéral.
En effet, soitA0 le milieu de [BC]. Alors P etA0 sont à la fois sur la médiane (AA0) et sur la médiatrice de [BC]. Par conséquent les droites (AA0) et (P A0) sont confondues.Aappartient donc à la médiatrice de [BC], d’oùAB=AC. Le même raisonnement appliqué àB0 milieu de [AC] ouC0milieu de [AB] conduit à l’égalitéAB=AC=BC.
ABC est donc un triangle équilatéral.
Remarque : cela reste encore vrai dans le cas limite où p= 1 (un des points A, B ouC est alors confondu avecQce que semble a priori exclure l’énoncé)
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