Ex 2 (corrigé) 1.1.
1.2. xA = d ; zA < h = 2,44 m
2.1. Seconde loi de Newton ou principe fondamental de la dynamique :
Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquée à un système matériel est égale à la dérivée par rapport au temps de sa quantité de mouvement: dt
) v . m ( d dt
p ext d
F
Dans ce cas particulier ou le système conserve une masse constante, la seconde loi devient:
a . dt m
) v (.
.d dt m
) v . m ( d dt
p ext d
F
j . a i . a j . g a g .
a . m g . m P F
z x
ext
Par conséquent les coordonnées du vecteur accélération du centre d'inertie du ballon sont : ax = O et ay = -g.
2.2. vo vo.cosi.vo.sin.k ; Les équations horaires de la vitesse égales aux primitives des équations horaires des coordonnées de l’accélération
y 2 1x z
x v kt.g
v kv ga
a 0a
Les constantes k1 et k2 sont déterminées grâce aux conditions initiales de la vitesse (t = 0 s) vx(0) =vo.cos=k1
vz(0) = vo.sin =g.0k2
k1 =vo.cos k2 = vo.sin
sin .v t.g v
cos .v v v
o z
o
x
2.3 Les équations horaires x(t) et z(t) sont les primitives des fonctions vx(t) et vz(t)
o 4 2 o 3 o
z ox
kt.
sin.v 2 t.
z g
kt.
cos.v x sin.v OG t.gv cos.v v v
Les constantes k3 et k4 sont déterminées grâce aux conditions initiales de la vitesse (t = 0 s) : : xo = 0 m ; zo = 0 m
0 k k t.
sin .v 2 t.
z g
0 k k 0.
cos .v 0 )0 (x
4 o 4
2
3 o 3
t.
sin .v 2 t.
z g
t.
cos .v x OG
2 o o
2.4 Pour trouver l’équation de la trajectoire on élimine le temps t dans les équations horaires :
x . tan .cos )
v .( x g 2. -1 z
.cos ) v ).( x .(sin v .cos )
v .( x g 2. -1 z
: f(t) y horaire équation
l' dans valeur cette
ensuite reporte
.cos on v t x t . .cos v x
2 0
0 0 2 0
0 0
2.5. On calcule zA
m 44 , 2 m 1 , 2 z
11 ).
55 tan(
)) 55 cos(
x 5 , 11 ( 11 x 81 , 9 x 5 , 0 z
x . tan .cos )
v .( x g 2. -1 z
A A 2
2 A 0
A A
Penalty réussi
3. Étude énergétique du mouvement du ballon
On admet que le ballon passe au niveau de la ligne de but à une hauteur zA= hA. 3.1. Ec = ½.m.V2 ; Epp = m.g.(z-zO) =m.g.z ; Em = Ec+ Epp
Courbe 3 : énergie potentielle de pesanteur car pour x = 0 , z = 0 donc Epp = m.g.z = 0
Courbe 2 énergie cinétique car au cours de la montée la balle a sa vitesse qui diminue donc Ec diminue également
Courbe 1 : l’énergie mécanique qui est la somme des 2 autres énergies.
3.2. D’après la courbe Em = constante en effet Em W(Fnc) 0car il n’y a pas de frottement.
3.3 A partir des courbes, déterminer la vitesse VC du ballon au point C d’abscisse xC = 4 m.
D’après la courbe :
) 1 C ( C c
c2
s . m 4 , 620 7 , 02x17 m
E . V 2
V . m 2. J 1 17 ) C ( Ec
3.4 Epp(C) = m .g.zC donc zc = Epp(C) /(m.g) = 24/(9,81x0,620) = 3,9 m 3.5
1 C -
C 2 02
C
O2 2 C
C m m
m.s 4 , 7 V
9 , 3 x 81 , 9 x 2 5 , 11 z
. g . 2 V V
V . m 2. z 1 . g . m V . m 2. 1
) O ( E ) C ( E
