Universit´e Paris 7-Denis Diderot Alg`ebre
Maˆıtrise de math´ematiques et informatique Ann´ee 2003-04
P. Perrin, L. Merel
EXAMEN du 17 juin 2004 Dur´ee : 3 h
L’usage des calculatrices, t´el´ephones et de tout document est interdit.
I
SoitGun 2-groupe non trivial. On se propose de montrer par r´ecurrence sur l’ordre deGqueGposs`ede un sous-groupe d’indice 2. NotonsZ le centre deG.
1. Pour x ∈ G notons Gx = {g ∈ G/gxg−1 = x} le centralisateur de x dans G. Montrer que Gx = G si et seulement si x∈ Z. Montrer que l’ensemble quotientG/Gx poss`ede un nombre pair d’´el´ements si et seulement six /∈Z.
2. Rappeler la formule des classes. En d´eduire queZ est d’ordre pair.
3. Montrer queZ poss`ede un ´el´ement ad’ordre 2.
4. NotonsA le sous-groupe deGengendr´e para. Montrer queA est distingu´e dansG.
5. `A l’aide de l’hypoth`ese de r´ecurrence, montrer queG/Aposs`ede un sous-groupeH d’indice 2.
6. Consid´erons l’homomorphisme canoniqueφ: G→G/A. Montrer queφ−1(H) est un sous-groupe d’indice 2 deG.
II
On se propose de montrer que le corps C est alg´ebriquement clos. On admettra que tout polynˆome `a coefficients r´eels de degr´e impair poss`ede un z´ero dansR.
1. Montrer que si toute extension finie deCest ´egale `aC, le corpsCest alg´ebriquement clos.
2. Montrer que tout nombre complexe poss`ede une racine carr´ee. En d´eduire que tout polynˆome de degr´e 2 admet une racine dansC, puis queCne poss`ede pas d’extension de degr´e 2.
3. SoitK0une extension finie deC. Montrer qu’il existe une extension finieK|K0telle que l’extensionK|R soit galoisienne.
4. Notons alorsGle groupe de Galois de l’extensionK|R. SoitH un 2-sous-groupe de Sylow deG. Notons L le sous-corps deK form´e par les ´el´ements invariants par H. En termes des ordres des groupesGet H, quel est l’ordre de l’extensionL|R?
5. Montrer qu’il existeα∈Ltel queL=R(α) etαracine d’un polynˆome irr´eductible de degr´e impair de R[X].
6. En d´eduire queα∈Rpuis que Gest un 2-groupe.
7. Montrer que l’extension K|C est galoisienne. Notons G1 son groupe de Galois. Montrer que c’est un 2-groupe.
8. SoitG2 un sous-groupe d’indice 2 deG1. NotonsL2le sous-corps deKform´e par les ´el´ements invariants par G2. Quel est le degr´e de l’extension L2|C ? En d´eduire que G1 n’a pas de sous-groupe d’indice 2.
Conclure `a l’aide deI.
