TS PROBLEME feuille 9 a

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

4. Le pointMétant un point du plan, d’affixez non réelle, on nommeM1son symétrique par rapport à l’axe des réels.

a. Calculer z^′+1

z^′−1 en fonction dez.

Exprimer alors l’argument dez^′+1

z^′−1en fonction de l’angle³−−−→

M1A ,−−−→

M1B´ . b. Comparer les angles³−−−→

M1A ,−−−→

M1B´ et³−−→

MA ,−−→

MB´ .

c. Démontrer queM^′appartient au cercle circonscrit au triangle AMB.

PROBLÈME points

Question préliminaire :

On admet que, pour tout nombre réelxstrictement positif : e^x>x+1 et lnx6x−1 où ln désigne la fonction logarithme népérien.

En déduire que, pour toutxstrictement positif, e^x−lnx>_{2. (1)} Partie A - Étude d’une fonction On considère la fonctionf définie sur l’intervalle [0 ;+∞[ par :

( f(x) = x

e^x−lnx six>0 f(0) = 0.

On désigne parCla représentation graphique def dans le plan rapporté à un repère orthonormé³

O,−→ ı ,→−

´

; (unité graphique : 4 cm).

1. Montrer quef est continue en 0.

Étudier la dérivabilité def en 0.

2. Déterminer la limite def en+∞.

Ã

On pourra écriref(x)= 1

e^x x −^lnx_x

! . Interpréter graphiquement ce résultat.

3. On désigne pargla fonction définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par : g(x)=e^x−lnx−xe^x+1.

a. Déterminer la limite degen 0.

Déterminer la limite deg en+∞(on pourra mettre e^x en facteur dans l’expression deg(x).

Étudier le sens de variation deget dresser son tableau de variation.

b. Démontrer que l’équationg(x)=0 admet une unique solutionα. Justi- fier l’encadrement : 1,236_α6_{1,24 (2).}

c. Étudier le signe deg(x) lorsquexdécrit l’intervalle ]0 ;+∞[.

4. a. Étudier les variations de la fonctionf et dresser son tableau de variation.

b. Démontrer quef(α)= 1 e^α−¹

α

.

En utilisant l’encadrement (2) du réelα, déterminer un encadrement de f(α). En déduire que 0,38 est une valeur approchée def(α) à 10⁻²près.

5. Tracer la courbeC et préciser ses tangentes aux points d’abscisses respectives 0 etα.

Amérique du Sud 2 novembre 1994

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Baccalauréat C A. P. M. E. P.

Partie B - Étude d’une suite définie par une intégrale

On considère la suite (un) définie par :

pour tout entier natureln>1,un= Zn

1 f(x) dx.

(On ne cherchera pas à calculer cette intégrale.) 1. Interpréter géométriquementun.

2. Étudier le sens de variation de la suite (un).

3. Soit cp la fonction définie sur l’intervalle [1 ;+∞[ par : ϕ(x)=e^x−xlnx−lnx.

Calculerϕ^′(x). En utilisant l’inégalité (1) de la partie préliminaire, démontrer que, pour tout réelx>1,ϕ^′(x)>0.

En déduire que, pour tout réelx>1,ϕ(x)>0.

4. a. En utilisant la question précédente, montrer que, pour tout réelx>1, f(x)−1+x

e^x 6_0.

b. Montrer que pour tout réelx>1,f(x)>xe^−x.

c. En effectuant une intégration par parties, calculer, en fonction de l’entier naturel non nuln, les deux intégrales suivantes :

Zn

1 xe^−xdx et Zn

1 (1+x)e^−xdx.

5. a. Montrer que la suite (un) est majorée.

b. Montrer que la suite (un) converge.

On appelleℓsa limite.

c. Démontrer que2

e6_ℓ6³ e.

Amérique du Sud 3 novembre 1994

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