TS PROBLEME feuille 6 a

Esachant queFest réalisé.

2. a. Calculer la probabilité pour qu’un véhicule contrôlé ait des freins défec- tueux et un éclairage défectueux.

b. Calculer la probabilité pour qu’un véhicule contrôlé ait de bons freins et un éclairage défectueux.

c. En déduire la probabilité pour qu’un véhicule contrôlé ait un éclairage défectueux.

3. Sachant qu’un véhicule contrôlé a un éclairage défectueux, quelle est la pro- babilité pour qu’il ait des freins défectueux ?

4. a. Montrer que la probabilité pour qu’un véhicule contrôlé soit en bon état (c’est-à-dire ait de bons freins et un bon éclairage) est 0,809 6.

b. Au cours d’un contrôle, les gendarmes ont arrêté 20 véhicules. Quelle est la probabilité pour qu’il y ait, parmi ces véhicules, au moins un véhicule qui ne soit pas en bon état ?

PROBLÈME 12 points

Partie A

Soitαun nombre réel appartenant à l’intervalle [0 ; 2π]. On considère la suite géo- métriqueude premier termeu0=cosαet de raison sinα.

1. Exprimeru_n en fonction den, et déterminer la limite deu_n lorsquen tend vers+∞.

2. Soit la suitesde terme générals_n=u₀+u₁+ · · · +u_n.

Exprimersnen fonction denet déterminer la limite desnlorsquentend vers +∞.

Partie B Le plan est muni d’un repère orthonormal³

O,−→ ı ,→−



´, d’unité 4 cm.

1. Tracer, sans justification, la courbeC0représentative de la fonctionS0définie sur

·3π 2 ; 2π

¸

parS₀(x)=cosx.

2. SoitS1la fonction définie sur

·3π 2 ; 2π

¸ par

S₁(x)=cosx+cosxsinx.

Calculer la dérivée deS1et exprimerS₁^′(x) comme fonction de sinx.

En déduire le signe deS^′₁(x) et les variations deS₁sur

·3π 2 ; 2π

¸ .

Sportifs de haut-niveau 2 septembre 1994

TS PROBLEME feuille 6 a

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

3. SoitSla fonction définie sur

·3π 2 ; 2π

¸ par

S(x)= cosx 1−sinx.

Calculer la dérivée deS; en déduire les variations deSsur

·3π 2 ; 2π

¸ .

4. Démontrer pourx∈

·3π 2 ; 2π

¸

les inégalités

S1(x)6S(x)6S0(x).

Tracer les courbes représentativesC₁de la fonctionS₁etCde la fonctionS. Partie C

Pour tout nombre entier natureln, on considère la fonctionS_n définie sur [0 ; 2π]

par

Sn(x)=cosx¡

1+sinx+ · · · +sinⁿx¢ , et on pose

In= Z_2π

3π2

Sn(x) dx.

1. CalculerI0,I1ainsi queI= Z_2π

3π2

S(x) dx.

Vérifier queI₁6I6I₀.

Comment les inégalités peuvent-elles être illustrées graphiquement ? 2. Montrer que, pour tout entier natureln, on a (-I)n+ 1

I_n+1−I_n=(−1)ⁿ⁺¹ n+2 .

En déduire queI_n=1−1 2+1

3+ · · · +(−1)ⁿ⁺¹ n+2 .

3. Soit les suitesAetBde termes générauxA_n =I_2n etB_n =I_2n+1. Démontrer que :

a. la suiteAest décroissante et la suiteBest croissante ; b. la suite de terme généralAn−Bnconverge vers 0.

4. a. Démontrer que, pour tout entier natureln et pour tout réelx apparte- nant à

·3π 2 ; 2π

¸ on a :

S(x)−S_n(x)=(sinx)ⁿ⁺¹S(x), puis que :

S_2n+1(x)6S(x)6S_2n(x).

b. En déduire que, pour tout entier natureln,

B_n6I6A_n. Démontrer queAetBconvergent versI.

Sportifs de haut-niveau 3 septembre 1994

TS PROBLEME feuille 6 b