TS PROBLEME feuille 7 a

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Inde–Liban septembre 1994 \

EXERCICE1 5 points

Soit P le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct³ O,−→

u,−→ v´

. A, B et C sont les points d’affixes respectives i,−i et−3i.

À tout pointMd’affixez(z6= −3i) on associe le pointM^′d’affixez^′ definie par

z^′=3iz−1 z+3i . 1. Déterminer les pointsMpour lesquelsM^′=M.

2. Montrer que pourz6=i etz6= −3i, on a :z^′+i

z^′−i=2z+i z−i. 3. SoitΠl’ensemble des pointsMtels que MA

MB=1 2.

a. Déterminer et construireΠ(préciser les éléments permettant cette construc- tion). Vérifier que C appartient àΠ.

b. Montrer, en utilisant 2, que siMappartient àΠ−{C}, alorsM^′appartient à une droite fixe que l’on précisera.

E^XERCICE2 4 points

Soit ABC un triangle quelconque du plan orienté.

On désigne par

R1la rotation de centre A et d’angle³−−→AB ,−−→AC´ , R2la rotation de centre C et d’angle³−−→CA ,−−→CB´ , R3la rotation de centre B et d’angle³−−→BC ,−−→BA´

.

Le but de l’exercice est de déterminer la transformationf définie par f =R3◦R2◦R1.

Soit∆1,∆2 et∆3les bissectrices intérieures respectives des angles géométriques

BAC,ACB et ABC.

Soit I le point de concours de ces trois droites.

Les réflexions d’axes∆1,∆2et∆3sont notéesS_∆1,S_∆2etS_∆3. 1. Montrer quef est une rotation dont on précisera l’angle.

2. Montrer queR2◦R1=S_∆2◦S_∆1.

(On utilisera des décompositions deR2et deR1en produits de réflexions.)

P^ROBLÈME 12 points

Dans tout le problème,ndésigne un entier naturel non nul.

Partie 1

Soitgnla fonction définie sur ]0 ;+∞[ par gn(x)=x−n+n

2lnx.

TS PROBLEME feuille 7 a

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

1. Étudier les variations degn.

Déterminer les limites degnen 0 et en+∞.

2. a. En déduire l’existence d’un réel positifαnunique tel quegn(αn)=0.

b. Montrer que : 16αn<e². c. Montrer que : ln (αn)=2−2

nαn·

Exprimergn+1(αn) en fonction deαnet den.

En déduire queαn+1>αn.

3. a. Montrer que la suite de terme généralαn est convergente. On noteℓsa limite.

b. En utilisant 2. c., calculer lim

n→+∞ln (αn) et en déduireℓ.

Partie 2

Soitf la fonction définie sur ]0 ;+∞[ par f(x)=2x−lnx

2p x . Le plan est rapporté à un repère orthonormal³

O,−→ ı ,−→

´

(unité graphique : 2 cm).

On appelleCla représentation graphique def etC0la représentation graphique de la fonction :x7−→px.

1. Déterminer les limites def en 0 et en+∞. 2. Calculerf^′(x). Vérifier quef^′(x)= g1(x)

2xp x. 3. Dresser le tableau de variations def. 4. Déterminer lim

x→+∞

£f(x)−p x¤

. Que peut-on en déduire pourC? 5. Préciser les positions relatives deCetC0.

6. DessinerCetC0. Partie 3

Étude de la suite (Un) définie parUn= Xn k=0

1 nf

µ 1+k

n

¶ .

1. SoitJ= Z2

1 f(x) dx= Z2

1

2x−lnx 2p

x dx.

a. Calculer Z2

1

lnx 2p

xdxà l’aide d’une intégration par parties.

b. En déduireJ.

2. Soitkun entier naturel tel que : 06_k6_n−1.

En utilisant les variations def sur [1 ;+∞[, montrer que : 1

nf µ

1+k n

¶ 6

Z₁₊^k+1

n 1+^k_n

f(x) dx6¹ nf

µ

1+k+1 n

¶ .

3. En déduire que :Un−f(2)

n 6_J6_Un−^f(1) n , puis que :J+f(1)

n 6Un6J+f(2) n , et lim

n→+∞Un.

Inde–Liban 2 septembre 1994

TS PROBLEME feuille 7 b