f est la rotation de centreK(2−i) et d’angle π 4

I.A FATICK//LYCEE COLOBANE ANNEE SCOLAIRE : 2019-2020

CELLULE DE MATHEMATIQUES CLASSES : TS2

SERIE D’EXERCICES SUR LES SIMILITUDES DIRECTES Exercice 1 : Le plan complexe est muni d’un

repère orthonormé (O,−→u ,−→v ).

Donner l’écriture complexe de la transformation f dans chacun des cas suivants :

1. f est la translation de vecteur−→u(1 + 2i).

2. f est l’homothétie de centreI(1 +i) et de rap- port k =−2.

3. f est la rotation de centreK(2−i) et d’angle π

4.

4. f est la similitude plane directe de centre O, d’angle π

6 et de rapport k= 2.

5. f est la similitude plane directe de centre Ω(2i), d’angle 2π

3 et de rapportk = 1 2.

Exercice 2 : Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de définie par son écriture com- plexe :

1. z⁰ =z+ 2−3i; 2. z⁰ = 3

5z+ 1− 1 2i; 3. z⁰ = (1−i)z+ 2−i; 4. z⁰ =

1 2 +i

√3 2

z+

√3 2 + 1

2i; 5. z⁰ =−2iz+i−2 ;

6. z⁰ =e⁻²ⁱ π

3z+ 5−7i.

Exercice 3 :On donne les pointsA(1);B(2i);C(−4);

D(i) et E(−i).

1. Déterminer l’écriture complexe de la similitude S telle que S(A) =B etS(B) = C puis carac- tériser S.

2. Déterminer l’écriture complexe de la similitude F qui laisse invariantDet transformeAenE.

Donner la nature et les éléments caractéris- tiques de F.

Exercice 4 : On considère f : M(z) 7−→ M⁰(z⁰) telle que :z⁰ = 4a²z+ 1−2a avec a∈C^∗.

1. Déterminer a tel que f soit une translation.

Préciser alors f.

2. Déterminer atel quef soit une homothétie de rapport −8.

3. Déterminer a tel que f soit une rotation d’angle 2π

3 .

4. Déterminer a tel que f soit une similitude plane directe de centre Ω(i) et d’angle 2π

3 . Exercice 5 :

Soit F :M(x, y)7−→M⁰(x⁰, y⁰) tel que











x⁰ =−1 2x−

√3 2 y+3

2 y⁰ =

√3 2 x−1

2y− 3 2

1. Déterminer l’affixez⁰ deM en fonction de l’af- fixe z de M. En déduire la nature et les élé- ments caractéristiques de F.

2. Déterminer la similitudeGtelle queG(A) =O etG(B) = B avecA(1) et B(−1).

3. Déterminer F ◦G.

4. Donner l’expression analytique de H dont l’écriture complexe est z⁰ = (1−i)z+ 2 +i.

Exercice 6 :

On donne les points A, B, C et Ω d’affixes respec- tives 1 + 2i,−2 +i,−1−2i et 2−i.

1. Déterminer les éléments caractéristiques de la similitude directe S1 de centre Ω qui trans- forme A en B.

2. S₂ est la transformation du plan qui, à chaque point M(z) associe le point M⁰(z⁰) tel que z⁰ = 1 +i

2 z+1

2. Caractériser S₂◦S₁.

3. Soit r la rotation de centre A et d’angle −π 4. (a) Donner l’affixe de D tel que D=r(B).

(b) Déterminer l’image C⁰ de C par r.

4. Soit T₂ : M(z) 7−→ M⁰(z⁰) telle que z⁰ = α²z+βoùαetβ sont des nombres complexes.

Déterminerα et β tels que S₂◦T₂ soit : 1

(a) Une translation de vecteur−→u(1; 0).

(b) Une rotation de centre O et d’angle π 2. Exercice 7 :

f est l’application du plan P dans lui-même qui, à tout point M(z) associe le point M⁰(z⁰) tel que z⁰ = 2(1 +i)z−i.

1. Préciser la nature de f.

2. Déterminer l’affixe deA⁰ =f(A) avecA(2 +i).

3. Déterminer une équation cartésienne de l’image parf de la droite d’équation−2x+y= 0.

Exercice 8 :

1. Placer les points A(1 2 −3

2i), B(1 + 3i), A⁰(1− i)etB⁰(−3 + 4i) dans le plan complexe.

2. Déterminer les éléments caractéristiques de la similitude directe S telle que S(A)=A‘ et S(B)=B‘. Placer son centre Ω.

3. Soit la droite (D) :y=x+1 et (D⁰) = S((D)).

Construire (D) et (D’).

4. Soit (C) le cercle de centre Ω et de rayon R =√

2. Construire(C).

5. Sans chercher l’équation cartésienne de (C’)=

S(C), donner le centre et le rayon de (C’) puis construire (C’).

Exercice 9 : Soit θ ∈]π 2;3π

2 [ et l’équation (E) : z² −[1 +i(sinθ+ tanθ)]z+ sinθ(−tanθ+i) = 0.

1. Montrer queb=isinθest solution de (E) puis calculer l’autre solution a.

2. Soit T la transformation plane : M(z) 7→

M⁰(z⁰) telle que z⁰ = az +b avec a et b so- lutions de (E).

(a) Donner la nature deT et préciser ses élé- ments caractéristiques.

(b) Déterminer θ tel que T soit une simili- tude d’angle π

4. Calculer alors l’affixe du centre Ω et le rapport k de T.

Exercice 10 :Dans l’ensembleCdes nombres com- plexes, on considère l’équation

(E) :z⁴−(2−i)z³+ (4−i)z+ 1 + 3i= 0.

1. Quel est le terme constant du polynôme P de variable complexez défini par :

P((z) = (z−z₁)(z−z₂)(z−z₃)(z−z₄) ? 2. (a) Montrer que l’équation (E) admet une so-

lution réelle notée z₁ et une solution ima- ginaire pure notée z₂.

(b) Vérifier que z₃ = 2 + i est solution de l’équation (E).

(c) Chercher alors la solution restante, notée z₄, de l’équation (E).

(d) Montrer que Z = z2−z4

z₁−z₄ × z1−z3

z₂−z₃ est un nombre réel.

3. Soient M1, M2, M3 et M4 les points du plan d’affixes respectives z1, z2, z3 et z4. On admet que ces quatre points sont cocycliques c’est-à- dire appartiennent à un même cercle.

(a) Donner une mesure de l’angle orienté (−−−−→

M2M1,−−−−→ M2M3).

(b) En déduire l’affixe z0 du centre du cercle passant par les points M1, M2, M3 etM4. Exercice 11 :

1. Résoudre dans C les équations suivantes : (a) z²−2z+ 5 = 0

(b) z²−2(1 +√

3)z+ 5 + 2√ 3 = 0

2. On considère dans le plan (P) de repère or- thonormé (O,−→u ,−→v) les points A, B, C et D d’affixes respectives : zA = 1 + 2i;zB = 1 +√

3 +i;zc= 1 +√

3−i;zD = 1−2i.

(a) Placer A, B, C et D dans le plan (P).

(b) Vérifier que z_D −z_B

z_A−z_B = i√

3, en déduire la nature du triangle ABD.

(c) Montrer que les points A, B, C et D ap- partiennent à un même cercle (C ), dont on précisera le centre et le rayon.

3. On considère l’équation (E) :

z²−2(1 + 2 cosθ)z+ 5 + 4 cosθ = 0 oùθ ∈R. (a) Résoudre (E) dans C.

(b) Montrer que les points images des solu- tions de (E) appartiennent à (C).

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