G251. Rumeurs et mondanités
Notonstn désigne le nombre minimal de conversations téléphoniques exclusive- ment bilatérales pour quenpipelets connaissent l’histoire complète.
Considérons la conversation où un premier pipelet p1 connaît l’histoire com- plète : il a été nécessaire que les n−1 autres pipelets lui donnent leur infor- mation directement ou indirectement, ce qui ne peut se faire en moins den−1 conversations téléphoniques. Lors de cette conversation, notons que son interlo- cuteurp2connaît alors également l’histoire complète. Il reste doncn−2 pipelets qui nécessitent généralementn−2 conversations téléphoniques. Dans le cas où n > 4, nous pouvons économiser 1 conversation téléphonique. Avant p1−p2, les dernières conversations téléphoniques impliquantp1oup2 ont étép1−p3 et p2−p4.Peut-on avoir l’une des situationsp3=p2, p4=p1oup3=p4? non car cela contredirait l’hypothèse de minimalité autour de la conversation considé- rée. Alorsp3 et p4 peuvent en 1 conversation téléphonique connaître l’histoire complète. Ainsi t2 = 1, t3 = 3 et tn = 2n−4 pour n > 4. Alors tN = 100 impliqueN= 52.
Pour la deuxième question, notonsjn le nombre minimum de journées permet- tant ànpipelets de rencontrer tous ses pairs.
Trivialement, j2 = 1. Il est clair que jn 6 jn+1. En effet, cela contredirait la minimalité de jn en éliminant un n+ 1ème pipelet dans une configuration où nous aurionsjn+1< jn.
Le premier jourkpipelets invitentn−kpipelets où 16k6n−1.Il faut ensuite que leskpipelets se rencontrent entre eux, et de même pour lesn−kpipelets. Par minimalité dejn,nous en déduisons la récurrencejn= 1 + min
k max (jk, jn−k), d’oùjn= 1 +jdn2e(principe du « diviser pour régner »).
Dans le cas oùn= 2p,la suite up =jn vérifieup = 1 +up−1 et u1 = 1, d’où up = p ou encorejn = log2n. Par récurrence, j2p+1 = i+j2p−i+1 pour tout 16i6p,d’oùj2p+1=p+ 16jn 6j2p+1 =p+ 1 pour tout 2p+ 16n <2p+1. Finalementjn=dlog2ne.En particulierjN = 6.
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